2001-大纲理-21 解-等比数列的前$n$项和公式

本题导读

本题考查等比数列的前 $n$ 项和公式。核心在于方程建模法、试值代入法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 $\frac{1}{5}$ .本年度当地旅游业收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 $\frac{1}{4}$ .

(1) 设 $n$ 年内（本年度为第一年）总投入为 $a_{n}$ 万元，旅游业总收入为 $b_{n}$ 万元.写出 $a_{n}, b_{n}$ 的表达式；

(2) 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

🔍【思路分析】

破题导航

第（1）问思路：

总投入 $a_{n}$ ：每年的投入构成等比数列，首项 $A_{1} = 800$ ，每年比上年减少 $\frac{1}{5}$ 说明公比 $q_{1} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ 。 $a_{n}$ 即为此等比数列的前 $n$ 项和。

总收入 $b_{n}$ ：每年的收入构成等比数列，首项 $B_{1} = 400$ ，每年比上年增加 $\frac{1}{4}$ 说明公比 $q_{2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ 。 $b_{n}$ 即为此等比数列的前 $n$ 项和。直接套用等比数列前 $n$ 项和公式 $S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ 化简。

第（2）问思路：根据题意列出不等式 $b_{n} > a_{n}$ 。代入（1）中的表达式，通过移项、合并同类项进行代数变形，将不等式化简为关于 $n$ 的单一指数不等式，最后通过估算或试值法求出最小正整数 $n$ 。

✅【答案】

Success

(1) $a_{n} = 4000 [1 - (\frac{4}{5})^{n}]$ ， $b_{n} = 1600 [(\frac{5}{4})^{n} - 1]$

(2) 至少经过 5 年

✍【详细解析】

Abstract

（1）写出 $a_{n}, b_{n}$ 的表达式

求解总投入 $a_{n}$ ：由题意，每年的投入资金构成等比数列，记为 ${A_{n}}$ 。首项 $A_{1} = 800$ ，公比 $q_{1} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ 。 $a_{n}$ 为该数列的前 $n$ 项和，应用等比数列求和公式： $a_{n} = \frac{800 \times [ 1 - ( \frac{4}{5} ) ^{n} ]}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{800 \times [ 1 - ( \frac{4}{5} ) ^{n} ]}{\frac{1}{5}} = 4000 \times [1 - (\frac{4}{5})^{n}]$

求解总收入 $b_{n}$ ：由题意，每年的旅游收入构成等比数列，记为 ${B_{n}}$ 。首项 $B_{1} = 400$ ，公比 $q_{2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ 。 $b_{n}$ 为该数列的前 $n$ 项和，应用等比数列求和公式： $b_{n} = \frac{400 \times [ ( \frac{5}{4} ) ^{n} - 1 ]}{\frac{5}{4} - 1} = \frac{400 \times [ ( \frac{5}{4} ) ^{n} - 1 ]}{\frac{1}{4}} = 1600 \times [(\frac{5}{4})^{n} - 1]$

综上可得： $a_{n} = 4000 \times [1 - (\frac{4}{5})^{n}]$ $b_{n} = 1600 \times [(\frac{5}{4})^{n} - 1]$

（2）求总收入超过总投入的至少总年数

根据题意，需满足不等式： $b_{n} > a_{n}$ 代入（1）中求得的表达式： $1600 \times [(\frac{5}{4})^{n} - 1] > 4000 \times [1 - (\frac{4}{5})^{n}]$ 两边同时除以 $800$ 以简化常数系数： $2 \times [(\frac{5}{4})^{n} - 1] > 5 \times [1 - (\frac{4}{5})^{n}]$ 展开不等式： $2 \cdot (\frac{5}{4})^{n} - 2 > 5 - 5 \cdot (\frac{4}{5})^{n}$ 移项合并数项： $2 \cdot (\frac{5}{4})^{n} + 5 \cdot (\frac{4}{5})^{n} - 7 > 0$

注意到 $\frac{4}{5}$ 与 $\frac{5}{4}$ 互为倒数，令 $t = (\frac{5}{4})^{n}$ （因为 $n \geq 1$ ，所以 $t > 1$ ），上式变形为： $2 t + \frac{5}{t} - 7 > 0$ 因为 $t > 0$ ，两边同乘以 $t$ ： $2 t^{2} - 7 t + 5 > 0$ 因式分解此一元二次不等式： $(2 t - 5) (t - 1) > 0$ 解得 $t > \frac{5}{2}$ 或 $t < 1$ 。因为 $t > 1$ ，所以取： $t > \frac{5}{2} ⟹ (\frac{5}{4})^{n} > 2.5$

通过对 $n$ 进行正整数试值：

当 $n = 4$ 时， $(\frac{5}{4})^{4} = \frac{625}{256} \approx 2.441 < 2.5$

当 $n = 5$ 时， $(\frac{5}{4})^{5} = \frac{3125}{1024} \approx 3.052 > 2.5$

综上所述，当 $n \geq 5$ 时不等式恒成立。即至少经过 5 年，旅游业的总收入才能超过总投入．

5 年

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：应用题等比公比转化模型（增加 $\frac{1}{4} ⟹ q = 1.25$ ，减少 $\frac{1}{5} ⟹ q = 0.8$ ）；换元法处理倒数型指数不等式。

核心方法：等比数列建模法、换元法。

避坑指南：

公比判定文字陷阱：极易将“比上年减少 $\frac{1}{5}$ ”直接记作公比 $q = \frac{1}{5}$ 。必须分清“减少到”与“减少了”的代数区别。

计算冗余陷阱：在第（2）问中，如果不做换元直接强行保留 $(\frac{5}{4})^{n}$ 和 $(\frac{4}{5})^{n}$ ，会导致多项式无法合并。看到互为倒数的指数项，首选换元法化为一元二次不等式求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于典型的产值与环保投资复合的初等数学生态数学模型大题，取材于高中代数教材“等比数列应用题”章节关于投入产出比（ROI）分析的课后综合大题。

结论推广：本题所体现的倒数指数复合模型可抽象推广为通用的**“经济非对称均衡收敛不等式”**： $A \cdot q^{n} + B \cdot (\frac{1}{q})^{n} > C$ 在金融精算学中，当投资按负几何级数衰减，而增值按正几何级数扩张时，系统扭亏为盈的临界周期 $n_{0}$ 由资本回收方程 $A t^{2} - C t + B = 0$ 的正实根唯一决定。此模型是现代项目资本风险评估与盈亏平衡点（Break-Even Point）计算的初等数学精算基石。

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