2001-大纲理-19 解-抛物线的标准方程与几何性质

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质，以及直线与抛物线的联立方程。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 设抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$，经过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A,B$ 两点.点 $C$ 在抛物线的准线上，且 $BC\parallel x$ 轴.证明直线 $AC$ 经过原点 $O$.

🔍【思路分析】

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1. 写出基础量与准线方程：已知抛物线 $y^2=2px$，写出其焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ 及准线方程 $x=-\frac{p}{2}$。
2. 设点与联立方程：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。由于直线经过焦点 $F$，可设经过焦点的直线方程为 $x=my+\frac{p}{2}$（规避斜率不存在的分类讨论）。联立直线与抛物线方程，得出关于 $y$ 的一元二次方程，写出韦达定理。
3. 推导定点 $C$ 的坐标：由于 $BC\parallel x$ 轴，说明点 $C$ 的纵坐标与点 $B$ 相同，即 $y_C=y_2$。又点 $C$ 在准线上，其横坐标为 $x_C=-\frac{p}{2}$。
4. 证明共线过原点：要证明直线 $AC$ 经过原点 $O$，只需证明 $K_{OA}=K_{OC}$，或者证明 $A,O,C$ 三点共线。通过代数化简证明两斜率的代数式严格相等即可。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

基础建系与坐标设项 由抛物线方程 $y^2=2px(p>0)$ 可知： 焦点为 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$，准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$。 设交点坐标为 $A(x_1,y_1)$， $B(x_2,y_2)$。

因为经过点 $F$ 的直线与抛物线有两个交点，该直线的斜率显然不为 0。 故可设直线 $AB$ 的方程为： $x=my+\frac{p}{2}$

联立方程并应用韦达定理 将直线方程 $x=my+\frac{p}{2}$ 代入抛物线方程 $y^2=2px$ 中： $y^2=2p\left(my+\frac{p}{2}\right)⟹y^2-2pmy-p^2=0$

根据一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），可得： $y_1+y_2=2pm$ $y_1{y}_2=-p^2\text{(1)}$

同时由抛物线定义， $y_1^2=2p{x}_1⟹x_1=\frac{y_1^2}{2p}$。

确定点 $C$ 的坐标 因为点 $C$ 在抛物线的准线上，所以其横坐标为 $x_C=-\frac{p}{2}$。 又因为 $BC\parallel x$ 轴，所以点 $C$ 的纵坐标与点 $B$ 严格相等，即 $y_C=y_2$。 由此确定点 $C$ 的坐标为： $C\left(-\frac{p}{2},y_2\right)$

通过斜率相等证明直线经过原点 要证明直线 $AC$ 经过坐标原点 $O(0,0)$，只需计算并证明直线 $OA$ 的斜率 $k_{OA}$ 与直线 $OC$ 的斜率 $k_{OC}$ 相等。

• 计算直线 $OA$ 的斜率： $k_{OA}=\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_1}{\frac{y_1^2}{2p}}=\frac{2p}{y_1}$
• 计算直线 $OC$ 的斜率： $k_{OC}=\frac{y_2}{-\frac{p}{2}}=-\frac{2y_2}{p}$

接下来验证 $k_{OA}=k_{OC}$ 是否成立。 由 ① 式 $y_1{y}_2=-p^2$ 可变形得： $y_2=-\frac{p^2}{y_1}$ 将此式代入 $k_{OC}$ 的表达式中： $k_{OC}=-\frac{2}{p}\cdot \left(-\frac{p^2}{y_1}\right)=\frac{2p}{y_1}$

因为 $k_{OA}=\frac{2p}{y_1}$ 且 $k_{OC}=\frac{2p}{y_1}$，所以： $k_{OA}=k_{OC}$ 由于两直线均通过原点 $O$ 且斜率相等，因此 $A,O,C$ 三点共线。 即直线 $AC$ 必然经过原点 $O$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：焦点弦性质的代数联立；利用韦达定理处理双动点乘积项 $y_1{y}_2=-p^2$ 的代换；三点共线解析判定。
2. 核心方法：纵坐标设元法。在抛物线综合题中，由于 $x=\frac{y^2}{2p}$，设纵坐标 $y$ 比设横坐标 $x$ 能大幅减少二次根式的出现。
3. 避坑指南：

• 斜率不存在分类冗余陷阱：若将焦点直线设为常规的 $y=k\left(x-\frac{p}{2}\right)$，则必须在开头单独对“当直线斜率 $k$ 不存在（即直线垂直于 $x$ 轴）”的特殊情况进行通分计算。通过将方程改设为 $x=my+\frac{p}{2}$ 可直接兼容垂直于 $x$ 轴的边界，使证明步骤极简且闭合。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于解析几何中经典的射影几何不变量证明题，取材于高中解析几何教材中“抛物线的简单几何性质”章节关于焦点弦性质讨论的课后标准证明大题。
2. 结论推广： 本题可直接推广为通用的**“阿波罗尼斯抛物线共线准线投影定理”**： 对于任意标准抛物线 $y^2=2px$，若 $AB$ 是通过其焦点的任意一根弦，作点 $B$ 在准线上的正投影点 $C$（即 $BC\parallel$ 轴线），则对端点 $A$ 与投影点 $C$ 的连线 $AC$ 恒过该抛物线的顶点（原点 $O$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-山西-07 解-抛物线的标准方程
• 1981-全国文-09 解-抛物线与直线的弦长及面积
• 1989-广东理-08 单-抛物线的标准方程