2001-大纲理-18 解-复数的代数运算与辐角主值

本题导读

本题考查复数的代数运算与辐角主值。核心在于三角代数化简法、几何向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 已知复数 $z_1=\text{i}(1-\text{i}{)}^3$.

(1) 求 $\arg z_1$ 及 $|z_1|$；

(2) 当复数 $z$ 满足 $|z|=1$，求 $|z-z_1|$ 的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问思路：通过完全立方公式展开 $(1-\text{i}{)}^3$，再乘以 $\text{i}$ 进行代数化简，将 $z_1$ 写成标准形式 $a+b\text{i}$。利用 $|z_1|=\sqrt{a^2+b^2}$ 求解模长，根据点 $(a,b)$ 所在的象限确定其辐角主值 $\arg z_1$。
2. 第（2）问思路：将复数问题转化为复平面内的解析几何问题。

• $|z|=1$ 表示动点 $z$ 的轨迹是以原点 $O$ 为圆心，1 为半径的单位圆；
• $|z-z_1|$ 表示单位圆上的动点 $z$ 到定点 $z_1$ 的距离；
• 当动点 $z$、原点 $O$ 与定点 $z_1$ 三点共线，且 $z$ 位于 $z_{1}O$ 的延长线与圆的交点时，距离达到最大，最大值为 $|z_1|+R$。

✅【答案】

Success

(1) $\arg z_1=\frac{7\pi }{4}$，$|z_1|=2\sqrt{2}$

(2) $|z-z_1|$ 的最大值为 $2\sqrt{2}+1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $\arg z_1$ 及 $|z_1|$

首先利用完全平方公式或立方展开式化简 $(1-\text{i}{)}^3$： $(1-\text{i}{)}^2=1-2\text{i}+{\text{i}}^2=1-2\text{i}-1=-2\text{i}$ $(1-\text{i}{)}^3=(1-\text{i}{)}^2(1-\text{i})=-2\text{i}(1-\text{i})=-2\text{i}+2{\text{i}}^2=-2-2\text{i}$

将结果代入 $z_1$ 的表达式中： $z_1=\text{i}(-2-2\text{i})=-2\text{i}-2{\text{i}}^2=2-2\text{i}$

得到 $z_1=2-2\text{i}$，其对应复平面上的点为 $(2,-2)$，位于第四象限。

• 求模长 $|z_1|$： $|z_1|=\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$

• 求辐角主值 $\arg z_1$： 设辐角主值为 $\theta$，则 $\tan \theta =\frac{-2}{2}=-1$。 因为点 $(2,-2)$ 在第四象限，其辐角主值范围满足 $\theta \in [0,2\pi )$ 或 $(-\pi ,\pi ]$。 按照标准高考复数辐角主值范围 $[0,2\pi )$ 规定： $\arg z_1=2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}$ 若采用辐角主值范围 $(-\pi ,\pi ]$，结果表示为 $-\frac{\pi }{4}$。

（2）当复数 $z$ 满足 $|z|=1$，求 $|z-z_1|$ 的最大值

在复平面内， $|z|=1$ 表示以原点 $O(0,0)$ 为圆心，半径 $R=1$ 的单位圆。 $|z-z_1|$ 的几何意义是单位圆上的动点 $z$ 到定点 $z_1(2,-2)$ 的距离。

根据平面几何性质，圆外定点到圆上动点的距离最大值，等于该定点到圆心的距离加上圆的半径： $|z-z_1{|}_{\text{max}}=|z_1|+R$

将第一问算得的 $|z_1|=2\sqrt{2}$ 和半径 $R=1$ 代入： $|z-z_1{|}_{\text{max}}=2\sqrt{2}+1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的四则幂次代数化简；复数模与辐角的概念；复数绝对值的几何距离物理模型。
2. 核心方法：数形结合法（几何复平面法）。
3. 避坑指南：

• 辐角主值象限陷阱：在求解 $\arg z_1$ 时，由 $\tan \theta =-1$ 算出基准角为 $\frac{\pi }{4}$ 后，必须明确 $z_1=2-2\text{i}$ 的实部为正、虚部为负，位于第四象限。切勿因大意将其记成第二象限的 $\frac{3\pi }{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的复数与代数几何交汇的中档大题，直接考查复平面中复数概念向二维解析几何圆方程的代数映射。取材于高中代数教材“复数”章节关于复数几何意义拓展的课后标准提高题。
2. 结论推广： 本题第（2）问可以一般化推广为**“阿波罗尼斯圆外定点距离极值不变量模型”**： 设动点 $z$ 的轨迹为 $|z-z_0|=R$，定点为 $z_1$。则当 $z_1$ 位于该圆外部时（即 $|z_1-z_0|>R$），动点与定点距离的代数极值满足严格的对称几何限界： $|z-z_1{|}_{\text{max}}=|z_1-z_0|+R$ $|z-z_1{|}_{\text{min}}=|z_1-z_0|-R$ 代入本题参数 $z_0=0,R=1$，直接验证最大值为 $|z_1|+1=2\sqrt{2}+1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-09 单-复数的辐角主值
• 1986-上海文-19 单-复数模与平方
• 1986-上海理-09 单-复数的辐角主值