2001-大纲理-09 单-正三棱柱的几何性质

本题导读

本题考查正三棱柱的几何性质，以及空间异面直线所成的角。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，若 $AB=\sqrt{2}B{B}_1$，则 $A{B}_1$ 与 $C_{1}B$ 所成的角的大小为()

A. $60^{\circ }$　　　　　　B. $90^{\circ }$　　　　　　C. $45^{\circ }$　　　　　　D. $120^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定几何体度量关系：正三棱柱的底面为正三角形，侧棱垂直于底面。不妨设高（侧棱长） $B{B}_1=1$，则底面边长 $AB=BC=CA=\sqrt{2}$。
2. 选择空间向量基底：选择从同一点出发且两两夹角已知的三个向量作为基底。例如以 $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{B{B}_1}$ 为基底，其中底面向量夹角为 $60^{\circ }$，侧棱与底面向量夹角为 $90^{\circ }$。
3. 分解目标向量：将异面直线的方向向量 $\overrightarrow{A{B}_1}$ 与 $\overrightarrow{C_{1}B}$ 分别用基底向量线性表示。
4. 计算数量积求夹角：利用向量数量积公式计算 $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{C_{1}B}$，若结果为 0，则直接判定两异面直线成 $90^{\circ }$；若非 0，则进一步利用模长公式计算夹角余弦值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设定基本度量并选取基底 在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，底面 $△ABC$ 为正三角形，侧棱 $B{B}_1\perp$ 平面 $ABC$。 设侧棱长 $B{B}_1=1$，由题意 $AB=\sqrt{2}B{B}_1$ 可得，底面各边长： $AB=BC=CA=\sqrt{2}$

选取 $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{B{B}_1}$ 作为空间向量的一组基底，其模长及两两内积计算如下：

• $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{B{B}_1}|=1$

• $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot \cos 60^{\circ }=\sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \frac{1}{2}=1$

• 因为侧棱垂直于底面，所以： $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{B{B}_1}=0,\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{B{B}_1}=0$

向量的基底分解 将两条异面直线的方向向量 $\overrightarrow{A{B}_1}$ 与 $\overrightarrow{C_{1}B}$ 沿基底方向拆分： $\overrightarrow{A{B}_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}_1}=-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}_1}$ $\overrightarrow{C_{1}B}=\overrightarrow{C_{1}C}+\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{B{B}_1}-\overrightarrow{BC}$

计算两向量的数量积（内积） $\begin{array}{rl}\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{C_{1}B}& =(-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}_1})\cdot (-\overrightarrow{B{B}_1}-\overrightarrow{BC})\\ & =\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}-{\overrightarrow{B{B}_1}}^2-\overrightarrow{B{B}_1}\cdot \overrightarrow{BC}\end{array}$ 将基底的模长与数量积数值代入展开式中： $\begin{array}{rl}\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{C_{1}B}& =0+1-|\overrightarrow{B{B}_1}{|}^2-0\\ & =1-1^2\\ & =0\end{array}$

确定异面直线夹角 因为 $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{C_{1}B}=0$，所以这两方向向量相互垂直： $\overrightarrow{A{B}_1}\perp \overrightarrow{C_{1}B}$ 根据异面直线所成角的定义，两向量相互垂直对应两条空间异面直线所成的角为 $90^{\circ }$。

B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正三棱柱的空间结构；异面直线所成角的几何与代数计算方法。
2. 核心方法：“空间向量基底法”。在非直角坐标系的规则多面体（如正三棱柱、斜棱柱、正四面体）中，基底法不需要强行寻找垂直建系，而是通过三向矢量的代数乘法展开来规避复杂的空间几何平移。
3. 避坑指南：

• 异面直线夹角域界陷阱：本题由于内积恰好为 0，直接得出 $90^{\circ }$。若利用传统几何平移法或其他方法算出其余弦值为负数时，必须明确异面直线所成角的取值范围是 $\left(0^{\circ },90^{\circ }\right]$，必须将其转化为对应的锐角，决不能选类似 $120^{\circ }$ 的钝角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于空间几何线线位置关系的拉分中档客观题，取材于高中立体几何教材“空间中的角”章节关于异面直线夹角求解的经典思维拓展题。
2. 结论推广： 推广到一般性的不变量结论：在任意正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，设底面边长为 $a$，侧棱长为 $h$。异面直线 $A{B}_1$ 与 $C_{1}B$ 的方向向量夹角余弦值满足通用的代数解析模型： $\cos {\theta }_0=\frac{\frac{1}{2}{a}^2-h^2}{a^2+h^2}$

• 当满足 $\frac{1}{2}{a}^2-h^2=0⟹a=\sqrt{2}h$ 时（即本题条件 $AB=\sqrt{2}B{B}_1$）， $\cos {\theta }_0=0⟹{\theta }_0=90^{\circ }$，两异面直线正交。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I理-07 单-立体几何
• 1988-广东文-08 单-异面直线的性质
• 1988-广东理-06 单-异面直线的性质