2001-大纲理-03 单-等差数列的性质

本题导读

本题考查等差数列的性质，以及递增等差数列的定义。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 设 $\{a_n\}$ 是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

1. 巧设项数简化运算（对称设项法）：已知条件给出的是前三项 $a_1,a_2,a_3$ 的和与积。处理奇数项等差数列时，设中间项 $a_2=m$，公差为 $d$，则前三项可表达为 $m-d,m,m+d$。这样在求和时可以直接消去公差 $d$。
2. 列方程组求解未知数：

• 依据“前三项的和为 12”直接解出中间项 $m$；
• 依据“前三项的积为 48”建立关于公差 $d$ 的二次方程，求出 $d$ 的可能值。

3. 结合单调性筛选解：题目强调该数列为“递增等差数列”，说明公差必须满足 $d>0$。据此排除负根，锁定唯一的公差与首项。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

对称设项并求出中间项 设该等差数列的公差为 $d$。由于涉及前三项，不妨设： $a_1=m-d,a_2=m,a_3=m+d$

根据“前三项的和为 12”列出代数式： $a_1+a_2+a_3=(m-d)+m+(m+d)=12$ $3m=12⟹m=4$ 由此直接得到中间项 $a_2=4$。

利用乘积关系求解公差 根据“前三项的积为 48”列出代数式，并将 $m=4$ 代入： $a_1\cdot a_2\cdot a_3=(4-d)\times 4\times (4+d)=48$ 两边同时除以 4 简化方程： $(4-d)(4+d)=12$ 利用平方差公式展开： $16-d^2=12⟹d^2=4⟹d=\pm 2$

单调性约束筛选与首项计算 因为数列 $\{a_n\}$ 是递增等差数列，根据定义其公差必须严格大于零，即 $d>0$。 因此舍去 $d=-2$，取： $d=2$

将 $m=4,d=2$ 代入首项表达式中： $a_1=m-d=4-2=2$

B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差中项性质 $a_1+a_3=2a_2$；递增数列的充要条件是公差 $d>0$。
2. 核心方法：“对称设项法”。在已知连续3项或5项的和时，设中心项能把加法运算量降到最低。
3. 避坑指南：

• 多解漏排陷阱：解出 $d=\pm 2$ 时，若忽略了题干开头的“递增”二字，极易误认为两个 $d$ 都是对的。如果误用 $d=-2$，算出的首项就是 $a_1=4-(-2)=6$，从而误选 D。做题时必须对“递增”、“递减”、“正项”等修饰词保持高度敏感。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于等差数列核心概念与方程组交汇的基础解答选择题，取材于高中代数教材“等差数列的通项与性质”章节下的课后典型综合练习题。
2. 结论推广： 本题所用到的对称设元思想在解决复杂数列与几何混合的大题时极具通用价值。 推广到一般性结论：若任意奇数 $2k+1$ 个连续等差数列项的和为 $S$，则其中间项（即等差中项）的值恒为： $a_{\text{mid}}=\frac{S}{2k+1}$ 这一结论在近代组合数学的算术级数（Arithmetic Progressions）划分问题中被广泛用作消去高阶自由度的边界收敛判据。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 2013-广东卷理-12 填-等差数列性质