2001-大纲理-02 单-圆的标准方程

本题导读

本题考查圆的标准方程，以及线段的中垂线方程。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 过点 $A(1,-1),B(-1,1)$ 且圆心在直线 $x+y-2=0$ 上的圆的方程是()

A. $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=4$　　　　B. $(x+3{)}^2+(y-1{)}^2=4$

C. $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=4$　　　　D. $(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何特征推导圆心：圆过 $A,B$ 两点，说明线段 $AB$ 是圆的一条弦。根据圆的几何性质，弦 $AB$ 的垂直平分线（中垂线）必然经过圆心。
2. 联立方程求交点：求出线段 $AB$ 的中垂线方程，与已知直线 $x+y-2=0$ 联立组成方程组，解得的交点坐标即为圆心坐标。
3. 计算半径得出方程：利用圆心到点 $A$（或 $B$）的距离公式求出半径的平方 $R^2$，从而写出圆的标准方程。
4. 另解（排除法）：将已知点 $A(1,-1)$ 分别代入各选项中验证，若不满足则排除；或直接验证哪个选项的圆心在直线 $x+y-2=0$ 上。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：几何法（求中垂线交点）

求线段 $AB$ 的垂直平分线方程 已知 $A(1,-1),B(-1,1)$。

• 线段 $AB$ 的中点 $M$ 坐标为： $M\left(\frac{1+(-1)}{2},\frac{-1+1}{2}\right)⟹M(0,0)$
• 直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}$ 为： $k_{AB}=\frac{1-(-1)}{-1-1}=\frac{2}{-2}=-1$
• 因为圆的中垂线与弦 $AB$ 垂直，所以中垂线的斜率 $k$ 满足 $k\cdot k_{AB}=-1⟹k=1$。

根据点斜式，线段 $AB$ 的垂直平分线方程为： $y-0=1\cdot (x-0)⟹y=x⟹x-y=0$

求圆心坐标 圆心既在已知直线 $x+y-2=0$ 上，又在弦 $AB$ 的垂直平分线 $x-y=0$ 上。 联立两方程求交点： $\{\begin{array}{l}x+y-2=0\\ x-y=0\end{array}$ 解得： $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}$ 所以，圆心坐标为 $O^{\prime }(1,1)$。

求半径并写出方程 圆的半径 $R$ 为圆心 $O^{\prime }(1,1)$ 到点 $A(1,-1)$ 的距离： $R^2=(1-1{)}^2+(1-(-1){)}^2=0^2+2^2=4$

结合圆心 $(1,1)$ 与 $R^2=4$，该圆的标准方程为： $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=4$

C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：垂直平分线斜率与中点公式；圆的标准方程形式 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$。
2. 核心方法：弦中垂线过圆心性质法。
3. 避坑指南：

• 在选择题中，最快的判定策略是**“圆心入线检验”**。观察四个选项的圆心依次为：A(3, -1), B(-3, 1), C(1, 1), D(-1, -1)。直接将其分别代入已知直线 $x+y-2=0$ 进行验证：
  • A: $3+(-1)-2=0$ （满足）
  • B: $-3+1-2=-4\ne 0$ （排除）
  • C: $1+1-2=0$ （满足）
  • D: $-1+(-1)-2=-4\ne 0$ （排除） 再将点 $A(1,-1)$ 分别代入 A 和 C 选项，A 选项左边等于 $(1-3{)}^2+(-1+1{)}^2=4+0=4$ 满足，但代入 B 点时 A 选项不满足，从而锁定制胜选项 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的解析几何直线与圆交汇的基础常规题，直接取材于高中解析几何教材中“圆的方程”章节的课后基础练习题。
2. 结论推广： 过定点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 且圆心在已知直线 $f(x,y)=0$ 上的圆的系方程，可以表达为过 $A,B$ 两点的基准圆与经过 $A,B$ 两点直线的线性组合。本题利用弦中垂线 $x-y=0$ 构成了二维平面上寻找唯一确定圆心的经典正交几何模型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 1986-上海文-35 解-抛物线与圆的交点