2001-大纲文-16 填-圆周上直角三角形计数

本题导读

本题考查圆周角定理，以及直角三角形的计数。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） 圆周上有 $2n$ 个等分点（$n>1$），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直角三角形直角所对的边必为直径。
2. 共有 $n$ 条直径，每条配余下 $2n-2$ 个点。

✅【答案】

Success

$2n(n-1)$

✍【详细解析】

Abstract

圆周上任取三个等分点构成直角三角形时，由圆周角定理，直角所对的边必为直径．反过来，每取一条直径，再从其余 $2n-2$ 个等分点中任选一个作为第三个顶点，即得一个直角三角形．圆周上 $2n$ 个点两两相对共有 $n$ 条直径，故直角三角形个数为 $n(2n-2)=2n(n-1)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆周上直角三角形计数

核心方法：直角三角形直角边为直径，$2n$ 点共 $n$ 条直径，每条配余下 $2n-2$ 点，共 $n(2n-2)=2n(n-1)$

避坑指南：直径对直角，每条直径配第三点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆周角定理

结论推广：一般地，圆周上直角三角形直角边必为直径

方法推广：直径对直角计数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2002-新课标文-11 单-正方体面选取计数
• 2007-新课标Ⅰ文-22 解-四点共圆与圆周角定理
• 2003-上海文-09 填-组合概率不同国