2001-大纲文-15 填-等比数列前n项和等差

本题导读

本题考查等比数列前 $n$ 项和的性质，以及等差数列的判定。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） 设 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，$S_n$ 是它的前 $n$ 项和.若 $\{S_n\}$ 是等差数列，则 q=$$\underline{\quad\quad\quad}.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\{S_n\}$ 等差则 $S_2-S_1=S_3-S_2$。
2. 即 $a_2=a_3$，得 $a_{1}q=a_1{q}^2$。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\{S_n\}$ 是等差数列，所以 $S_2-S_1=S_3-S_2$．又 $S_2-S_1=a_2=a_{1}q$，$S_3-S_2=a_3=a_1{q}^2$，故 $a_{1}q=a_1{q}^2$．等比数列的首项与公比均非零，即 $a_{1}q\ne 0$，两边同除以 $a_{1}q$ 得 $q=1$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列前n项和等差

核心方法：$\{S_n\}$ 等差则 $S_2-S_1=S_3-S_2$，即 $a_2=a_3$，$a_{1}q=a_1{q}^2$，$a_{1}q\ne 0$，故 $q=1$

避坑指南：等差数列定义列相邻差相等

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等差等比数列

结论推广：一般地，等比数列前 $n$ 项和成等差时公比为 $1$

方法推广：等差数列定义列式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-16 填-等比数列前n项和等差
• 2007-重庆文-01 单-等比数列公比求解
• 2012-新课标Ⅰ文-14 填-等比数列公比