2001-大纲文-10 单-复合命题与函数单调性

本题导读

本题考查命题的真假判定，以及函数差的单调性。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） 设 $f(x)$，$g(x)$ 都是单调函数，有如下四个命题： ① 若 $f(x)$ 单调递增，$g(x)$ 单调递增，则 $f(x)-g(x)$ 单调递增； ② 若 $f(x)$ 单调递增，$g(x)$ 单调递减，则 $f(x)-g(x)$ 单调递增； ③ 若 $f(x)$ 单调递减，$g(x)$ 单调递增，则 $f(x)-g(x)$ 单调递减； ④ 若 $f(x)$ 单调递减，$g(x)$ 单调递减，则 $f(x)-g(x)$ 单调递减. 其中正确的命题是()

A. ①③　　　　　　　B. ①④　　　　　　　C. ②③　　　　　　　D. ②④

🔍【思路分析】

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✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

若 $f$ 单调递增、$g$ 单调递减，则对 $x_1<x_2$ 有 $f(x_1)<f(x_2)$、$g(x_1)>g(x_2)$，故 $f(x_1)-g(x_1)<f(x_2)-g(x_2)$，②正确；若 $f$ 单调递减、$g$ 单调递增，则 $f(x_1)>f(x_2)$、$g(x_1)<g(x_2)$，故 $f(x_1)-g(x_1)>f(x_2)-g(x_2)$，③正确．同向单调时（①④）差的单调性不能确定，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复合命题与函数单调性

核心方法：①④同向单调差不确定；② $f\uparrow ,g\downarrow \Rightarrow f-g\uparrow$，③ $f\downarrow ,g\uparrow \Rightarrow f-g\downarrow$，故②③正确

避坑指南：逐条判断差的单调性

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复合命题

结论推广：一般地，两函数同向单调差不确定，反向单调差确定

方法推广：逐条判断差的单调性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2004-福建文-03 单-复合命题真假判定
• 2005-天津卷文-07 单-命题真假判定
• 2007-陕西文-11 单-三命题真假判断