2001-上海卷理-22 解-函数的迭代与映射

本题导读

本题考查函数的迭代与映射。核心在于迭代计算法、构造函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 对任意函数 $f(x)$，$x\in D$，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ① 输入数据 $x_0\in D$，经数列发生器输出 $x_1=f(x_0)$； ② 若 $x_1\notin D$，则数列发生器结束工作；若 $x_1\in D$，则将 $x_1$ 反馈回输入端，再输出 $x_2=f(x_1)$，并依此规律继续下去.现定义 $f(x)=\frac{4x-2}{x+1}$.

(1) 若输入 $x_0=\frac{49}{65}$，则由数列发生器产生数列 $\{x_n\}$.请写出数列 $\{x_n\}$ 的所有项；

(2) 若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据 $x_0$ 的值；

(3) 若输入 $x_0$ 时，产生的无穷数列 $\{x_n\}$ 满足：对任意正整数 $n$ 均有 $x_n<x_{n+1}$，求 $x_0$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定定义域：由 $f(x)=\frac{4x-2}{x+1}$ 可知，定义域 $D=\{x\mid x\ne -1\}$。
2. 第一问：依次将数值代入解析式迭代，直到输出的值为 $-1$ 时触发终止条件，列出所有生成的项。
3. 第二问：产生无穷常数数列意味着 $x_n=x_{n-1}$ 恒成立，转化为求解函数的不动点方程 $f(x)=x$。
4. 第三问：将单调递增条件 $x_n<x_{n+1}$ 转化为 $f(x_n)-x_n>0$。解出不等式后，必须结合“无穷数列”（即始终不越界）验证区间的封闭性，剔除会导致后续项不单调的伪区间，最后反解出 $x_0$ 的范围。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{11}{19},\frac{1}{5},-1$

(2) $x_0=1$ 或 $2$

(3) $x_0\in (1,2)$

✍【详细解析】

Abstract

分析函数定义域与第 (1) 问计算 函数 $f(x)=\frac{4x-2}{x+1}$ 的定义域为 $D=\{x\mid x\ne -1\}$。 当输入 $x_0=\frac{49}{65}$ 时： $x_1=f(x_0)=\frac{4\times \frac{49}{65}-2}{\frac{49}{65}+1}=\frac{\frac{196-130}{65}}{\frac{114}{65}}=\frac{66}{114}=\frac{11}{19}$ 由于 $x_1\in D$，继续反馈迭代： $x_2=f(x_1)=\frac{4\times \frac{11}{19}-2}{\frac{11}{19}+1}=\frac{\frac{44-38}{19}}{\frac{30}{19}}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$ 由于 $x_2\in D$，继续反馈迭代： $x_3=f(x_2)=\frac{4\times \frac{1}{5}-2}{\frac{1}{5}+1}=\frac{\frac{4-10}{5}}{\frac{6}{5}}=\frac{-6}{6}=-1$ 此时 $x_3=-1\notin D$，数列发生器结束工作。 因此，产生的数列 $\{x_n\}$ 的所有项为： $\frac{11}{19},\frac{1}{5},-1$。

解答第 (2) 问（无穷常数数列） 若产生无穷常数数列，则对任意 $n\ge 1$，均有 $x_n=x_{n-1}$，即 $x_0$ 必须是函数 $f(x)$ 的不动点。 令 $f(x_0)=x_0$，即： $\frac{4x_0-2}{x_0+1}=x_0$ 去分母化简得： $x_0^2+x_0=4x_0-2⟹x_0^2-3x_0+2=0$ 解此一元二次方程得： $x_0=1$ 或 $x_0=2$。 检验： $1\ne -1$ 且 $2\ne -1$，均在定义域 $D$ 内。 故初始数据 $x_0$ 的值为 $1$ 或 $2$。

解答第 (3) 问（无穷严格递增数列） 由题意，对任意正整数 $n$ 均有 $x_n<x_{n+1}$，即 $x_n<f(x_n)$。 构造不等式 $x<f(x)$： $x<\frac{4x-2}{x+1}⟹\frac{4x-2}{x+1}-x>0⟹\frac{-(x-1)(x-2)}{x+1}>0$ 等价于： $(x-1)(x-2)(x+1)<0$ 解得 $x$ 的范围为： $x<-1$ 或 $1<x<2$。

即对于任意正整数 $n$， $x_n$ 必须落在区间 $(-\infty ,-1)\cup (1,2)$ 内。 下面验证该区间内的项是否能持续满足条件：

1. 若 $x_n<-1$：此时 $x_n+1<0$。由解析式分离常数得 $f(x_n)=4-\frac{6}{x_n+1}$。由于 $x_n+1<0$， $-\frac{6}{x_n+1}>0$，故 $x_{n+1}=f(x_n)>4$。 一旦 $x_{n+1}>4$，则 $x_{n+1}\notin (-\infty ,-1)\cup (1,2)$。此时 $f(x_{n+1})<x_{n+1}$，即 $x_{n+2}<x_{n+1}$，这就破坏了“对任意正整数 $n$ 均有递增”的要求。因此，整个序列中不能有任何一项小于 $-1$。
2. 若 $1<x_n<2$：此时 $2<x_n+1<3⟹2<\frac{6}{x_n+1}<3⟹1<4-\frac{6}{x_n+1}<2$。 即若 $x_n\in (1,2)$，则 $x_{n+1}\in (1,2)$。区间 $(1,2)$ 是该迭代的闭合稳定域。

因此，必须且只需 $x_1\in (1,2)$。 即 $1<f(x_0)<2$： $1<\frac{4x_0-2}{x_0+1}<2$ 将不等式分为两部分：

• $\frac{4x_0-2}{x_0+1}>1⟹\frac{3x_0-3}{x_0+1}>0⟹x_0>1$ 或 $x_0<-1$
• $\frac{4x_0-2}{x_0+1}<2⟹\frac{2x_0-4}{x_0+1}<0⟹-1<x_0<2$

取两部分的交集，得到 $x_0$ 的取值范围为： $x_0\in (1,2)$

(1) 数列的所有项为 $\frac{11}{19},\frac{1}{5},-1$； (2) $x_0$ 的值为 $1$ 或 $2$； (3) $x_0$ 的取值范围是 $(1,2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：迭代数列的项值推导；不动点方程 $f(x)=x$ 的应用；单调性条件 $f(x)-x>0$ 与区间稳定性的联合审查。
2. 核心方法：分离常数法（ $f(x)=4-\frac{6}{x+1}$）判定区间映射规律。
3. 避坑指南：

• 终止条件漏项陷阱：在第 (1) 问中，发生器“输出 $x_1$ 后判定是否在 $D$ 内”。当 $x_3=-1$ 时，它已经被输出然后触发停机，因此 $-1$ 是生成的最后一项，不能漏写。
• 单调性假区间陷阱：解出 $x<-1$ 也满足 $f(x)>x$ 时，极易将其直接并入答案。迭代数列的全局单调性必须审查“映射区间的封闭性”。小于 $-1$ 的数迭代一次就会跳到大于 4 的区间，导致下一步单调性反转。必须严密剔除该伪稳定域。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为压轴级的数列与函数综合题，通过引入“数列发生器”的算法框图外壳，考查动力系统（Dynamical Systems）中最基础的一维离散映射性质。
2. 结论推广： 对于分式线性映射 $x_{n+1}=\frac{a{x}_n+b}{c{x}_n+d}$，通过求解其不动点 $\alpha ,\beta$，可借助变量代换 $y_n=\frac{x_n-\alpha }{x_n-\beta }$ 将其转化为等比数列形式 $y_{n+1}=K{y}_n$ 进行通项的闭式求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1988-广东文-18 单-函数的单调性判断