2001-上海卷理-21 解-函数模型的实际应用

本题导读

本题考查函数模型的实际应用。核心在于建模翻译法、作差比较法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用 1 个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药用量的 $\frac{1}{2}$，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用 $x$ 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留有农药量之比为函数 $f(x)$.

(1) 试规定 $f(0)$ 的值，并解释其实际意义；

(2) 试根据假定写出函数 $f(x)$ 应该满足的条件和具有的性质；

(3) 设 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，现有 $a(a>0)$ 单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成 2 份后清洗两次.试问用哪种方案清洗后蔬菜上的农药量比较少？说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：根据函数定义，当用水量 $x=0$ 时，农药未被清洗，残留量等于初始量，其比值即为 $f(0)$。
2. 第二问：从题干提取量化条件。“洗掉 $\frac{1}{2}$” 对应 $f(1)$ 的值；“用水越多洗掉越多”对应函数的单调递减性；“总有残留”对应函数值的下界。
3. 第三问：

• 方案一残留比：直接代入 $x=a$ 求 $f(a)$。
• 方案二残留比：连续两次使用 $\frac{a}{2}$ 的水，残留比为复合乘积 ${\left[f\left(\frac{a}{2}\right)\right]}^2$。
• 构造差值函数或比较分母，通过解不等式对参数 $a$ 进行分类讨论，确立优劣区间。

✅【答案】

Success

(1) $f(0)=1$，实际意义：不用水清洗时农药残留量保持不变

(2) $f(1)=\frac{1}{2}$，$f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上严格单调递减，且 $0<f(x)\le 1$

(3) 当 $0<a<2\sqrt{2}$ 时方案一残留较少；当 $a=2\sqrt{2}$ 时两方案一样多；当 $a>2\sqrt{2}$ 时方案二残留较少

✍【详细解析】

Abstract

(1) 规定 $f(0)$ 的值及实际意义 由题意，$f(x)$ 表示清洗后与清洗前农药残留量之比。 当 $x=0$ 时，表示不用水清洗，此时农药没有被洗掉，残留量与清洗前相等。 因此，规定： $f(0)=1$ 实际意义：不用水清洗时，蔬菜上的农药残留量保持不变。

(2) 函数 $f(x)$ 的条件与性质 根据题干的文字假定，提取数学限制：

• 条件： 已知 $f(0)=1$。 “用 1 个单位量的水可洗掉… $\frac{1}{2}$”，即残留了 $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。故有： $f(1)=\frac{1}{2}$
• 性质： “用水越多洗掉的农药量也越多”，意味着随 $x$ 增大，残留比减小。故 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上是严格单调递减函数。 “总还有农药残留在蔬菜上”，意味着残留比永远大于 0，且不超过初始状态。故其值域满足： $0<f(x)\le 1(x\ge 0)$

(3) 方案择优比较 设清洗前农药总量为 1。 方案一（清洗一次）：用 $a$ 单位量的水洗一次，残留农药量为： $R_1=f(a)=\frac{1}{1+a^2}$ 方案二（清洗两次）：将水分成两份，每次用 $\frac{a}{2}$ 单位量的水。 第一次清洗后残留量为 $f\left(\frac{a}{2}\right)$；第二次清洗后的总残留量为上一轮残留量的 $f\left(\frac{a}{2}\right)$ 倍。故总残留农药量为： $R_2={\left[f\left(\frac{a}{2}\right)\right]}^2={\left[\frac{1}{1+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}\right]}^2=\frac{1}{{\left(1+\frac{a^2}{4}\right)}^2}=\frac{1}{1+\frac{a^2}{2}+\frac{a^4}{16}}$

比较 $R_1$ 与 $R_2$ 的大小，等价于比较其分母大小。作差： $(1+a^2)-\left(1+\frac{a^2}{2}+\frac{a^4}{16}\right)=\frac{a^2}{2}-\frac{a^4}{16}=\frac{a^2}{16}(8-a^2)$

由于 $a>0$，对 $8-a^2$ 进行分类讨论：

1. 当 $0<a<2\sqrt{2}$ 时： $8-a^2>0⟹1+a^2>{\left(1+\frac{a^2}{4}\right)}^2⟹R_1<R_2$。 此时方案一（一次清洗）残留的农药量较少。
2. 当 $a=2\sqrt{2}$ 时： $8-a^2=0⟹1+a^2={\left(1+\frac{a^2}{4}\right)}^2⟹R_1=R_2$。 此时两种方案清洗后残留的农药量一样多。
3. 当 $a>2\sqrt{2}$ 时： $8-a^2<0⟹1+a^2<{\left(1+\frac{a^2}{4}\right)}^2⟹R_1>R_2$。 此时方案二（分两次清洗）残留的农药量较少。

见上述分类讨论结论。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：连续作用机制下的比例连乘模型构建；分式函数大小比较的作差法；参数讨论的完备性。
2. 核心方法：分母作差法。
3. 避坑指南：

• 两次清洗模型误区：极易将两次清洗的残留量误列为加法 $2f\left(\frac{a}{2}\right)$ 或简单的 $1-2\left[1-f\left(\frac{a}{2}\right)\right]$。必须明确，每次清洗的定义是“与本次清洗前残留量之比”，故连续清洗在数学上是严格的连乘积关系。
• 无脑定式结论陷阱：生活经验常让人以为“多次清洗必定更干净”。但本题数学模型证实，当总水量匮乏（$a<2\sqrt{2}$）时，均分水量会导致单次浓度梯度不足，洗涤效率骤降，此时集中一次清洗反而更优。解题必须忠于代数推导，切忌主观经验替代分类讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为应用题板块的经典范例，考查非线性衰减模型，源自化学中“萃取（Extraction）”过程分配定律的初等数学下放。
2. 结论推广： 在广义化学萃取或洗涤工业中，若溶质在两相中的分配系数固定，残留函数多呈指数型衰减 $f(x)=e^{-kx}$ 或有理分式衰减。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-30 填-函数的值域