2001-上海卷理-20 解-一元二次方程在复数域的解法

本题导读

本题考查一元二次方程在复数域的解法。核心在于周期列举法、指数代数运算法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 对任意一个非零复数 $z$，定义集合 $M_z=\{\omega |\omega =z^{2n-1},n\in \mathbf{N}\}$.

(1) 设 $a$ 是方程 $x+\frac{1}{x}=\sqrt{2}$ 的一个根，试用列举法表示集合 $M_a$. 若在 $M_a$ 中任取两个数，求其和为零的概率 $P$；

(2) 设复数 $\omega \in M_z$，求证: $M_{\omega }\subseteq M_z$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问思路：将方程化为一元二次方程求出复数根 $a$。将 $a$ 写成三角形式，利用棣莫弗定理计算 $a$ 的奇数次幂，通过周期性确定集合 $M_a$ 的所有不同元素。然后在集合中找出互为相反数的对数，计算古典概型概率。
2. 第二问思路：任取 $M_{\omega }$ 中的元素，利用已知条件 $\omega \in M_z$ 进行指数代换，通过代数恒等变形证明其幂次依然符合 $2p-1$ 的结构形式，从而证明包含关系。

✅【答案】

Success

(1) $M_a=\{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\text{i},-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\text{i},-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{i},\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{i}\}$，$P=\frac{1}{3}$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

第一问：列举集合元素与求概率 解方程 $x+\frac{1}{x}=\sqrt{2}$，去分母化简得： $x^2-\sqrt{2}x+1=0$ 由求根公式得： $x=\frac{\sqrt{2}\pm \sqrt{2-4}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\pm \frac{\sqrt{2}}{2}i$ 不妨取 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$（取另一根结果的集合相同）。 将其化为三角形式： $a=\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}$ 根据棣莫弗定理， $a$ 的奇数次幂为： $a^{2n-1}=\cos \frac{(2n-1)\pi }{4}+i\sin \frac{(2n-1)\pi }{4}$ 依次取 $n=1,2,3,4$，得到四个不同的复数： $n=1:a^1=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$ $n=2:a^3=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$ $n=3:a^5=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$ $n=4:a^7=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$ 当 $n\ge 5$ 时，由于 $a^8=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1$，元素开始循环重复。 故用列举法表示集合 $M_a$ 为： $M_a=\left\{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i,-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i,-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i,\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right\}$

在 $M_a$ 的 4 个元素中任取 2 个，共有 $C_4^2=6$ 种取法。 其中和为零的两数必互为相反数，仅有 $\{a^1,a^5\}$ 和 $\{a^3,a^7\}$ 这 2 对组合。 故所求概率为： $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

第二问：证明 $M_{\omega }\subseteq M_z$ 任取 $\alpha \in M_{\omega }$，由集合定义可知，存在 $m\in \mathbf{N}$ 使得： $\alpha ={\omega }^{2m-1}$ 又因为 $\omega \in M_z$，同理存在 $k\in \mathbf{N}$ 使得： $\omega =z^{2k-1}$ 将 $\omega$ 代入 $\alpha$ 的表达式中，根据指数运算法则得： $\alpha ={\left(z^{2k-1}\right)}^{2m-1}=z^{(2k-1)(2m-1)}$ 对指数部分进行乘法展开与变形： $(2k-1)(2m-1)=4km-2k-2m+1=2(2km-k-m+1)-1$ 令 $p=2km-k-m+1$。 因为 $k\in \mathbf{N},m\in \mathbf{N}$，根据整数系的封闭性，$p$ 必为整数；且奇数乘奇数恒为奇数，可证得对应 $p\in \mathbf{N}$。 因此 $\alpha =z^{2p-1}$，符合集合 $M_z$ 的元素构造定义。 这表明 $\alpha \in M_z$。 由元素 $\alpha$ 的任意性，故证得： $M_{\omega }\subseteq M_z$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：方程复数根的求解；棣莫弗定理确定高次幂的有限状态机周期；奇数群代数结构的封闭性证明。
2. 核心方法：周期枚举法；指数代换恒等式法。
3. 避坑指南：

• 集合元素无限性错觉：由于定义式中 $n\in \mathbf{N}$ 有无数个取值，极易误认为集合 $M_a$ 是无限集。处理含周期性质的复数（如辐角为 $\frac{\pi }{4}$ 的有理数倍）时，必须计算其最小正周期（本题 $a^8=1$），从而进行集合去重，锁定本质有限个元素。
• 代数结构变形不到位：在证明第二问时，算出指数为 $4km-2k-2m+1$ 后，必须将其强行提取公因数 $2$，配凑出形如 $2p-1$ 的标准奇数形式，方可严密扣合原集合定义的判别条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于方程 $x+\frac{1}{x}=\sqrt{2}$ 与单位根，本质是 $a^8=1$ 的奇次幂集合；考查复数三角形式、棣莫弗定理及子集证明，体现“复数的幂—集合—概率”交汇。

结论推广：一般地，若 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$，则 $M_z=\{z^{2n-1}\}$ 的周期性与 $\theta$ 有关；当 $z^m=1$ 时 $M_z$ 为有限集，且 $M_{\omega }\subseteq M_z$ 对 $\omega \in M_z$ 恒成立。

方法推广：证明 $M_{\omega }\subseteq M_z$ 的关键是把 $\omega =z^{2k-1}$ 代入 $\alpha ={\omega }^{2m-1}$，利用奇数乘积仍为奇数凑出 $2p-1$ 形式，此法可推广到证明“幂次集合的包含关系”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1989-广东文-23 单-复数的集合
• 1984-全国文-03 单-复数的三角形式
• 1985-广东文-03 填-复数的三角形式