2001-上海卷理-19 解-空间向量的基本定理与线性运算

本题导读

本题考查空间向量的基本定理与线性运算。核心在于空间向量坐标法、二次函数最值法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 在棱长为 $a$ 的正方体 $OABC-O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 中，$E,F$ 分别是棱 $AB,BC$ 上的动点，且 $AE=BF$.

(1) 求证: $A^{\prime }F\perp C^{\prime }E$;

(2) 当三棱锥 $B^{\prime }-BEF$ 的体积取得最大值时，求二面角 $B^{\prime }-EF-B$ 的大小. (结果用反三角函数表示)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：以 $O$ 为原点， $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$ 方向为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
2. 坐标参数化：设 $AE=BF=x(0\le x\le a)$，写出核心点 $A^{\prime },C^{\prime },E,F$ 的坐标，通过计算向量内积 $\overrightarrow{A^{\prime }F}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }E}=0$ 证明线线垂直。
3. 体积最值与法向量：将体积表达为关于 $x$ 的二次函数，求出体积最大时的 $x$ 值。获取此时面 $B^{\prime }EF$ 和面 $BEF$ 的法向量，利用向量夹角公式求解二面角。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) 二面角 $B^{\prime }-EF-B$ 的大小为 $\arccos \frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

建系与坐标表示 以 $O$ 为坐标原点，分别以射线 $OA,OC,O{O}^{\prime }$ 为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系 $O-xyz$。 由棱长为 $a$，可得相关顶点坐标： $A^{\prime }(a,0,a)$, $C^{\prime }(0,a,a)$, $B(a,a,0)$, $B^{\prime }(a,a,a)$。 设 $AE=BF=x(0\le x\le a)$。 因为 $E$ 在 $AB$ 上，$F$ 在 $BC$ 上，可得动点坐标： $E(a,x,0)$， $F(a-x,a,0)$。

证明 $A^{\prime }F\perp C^{\prime }E$ 计算两直线的方向向量： $\overrightarrow{A^{\prime }F}=(a-x-a,a-0,0-a)=(-x,a,-a)$ $\overrightarrow{C^{\prime }E}=(a-0,x-a,0-a)=(a,x-a,-a)$ 计算向量内积： $\overrightarrow{A^{\prime }F}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }E}=(-x)\cdot a+a\cdot (x-a)+(-a)\cdot (-a)=-ax+ax-a^2+a^2=0$ 故 $\overrightarrow{A^{\prime }F}\perp \overrightarrow{C^{\prime }E}$，即 $A^{\prime }F\perp C^{\prime }E$。

求体积最值及动点位置 三棱锥 $B^{\prime }-BEF$ 的高为 $B^{\prime }B=a$。底面 $△BEF$ 为直角三角形，两直角边长为 $BE=a-x$, $BF=x$。 $V_{B^{\prime }-BEF}=\frac{1}{3}{S}_{△BEF}\cdot B^{\prime }B=\frac{1}{3}\cdot \left[\frac{1}{2}x(a-x)\right]\cdot a=\frac{a}{6}(-x^2+ax)$ 由二次函数性质可知，当且仅当 $x=\frac{a}{2}$ 时（即 $E,F$ 分别为 $AB,BC$ 中点时），该体积取得最大值。 此时，$E\left(a,\frac{a}{2},0\right)$， $F\left(\frac{a}{2},a,0\right)$。

计算法向量求二面角 面 $BEF$（即底面 $OABC$）的一个法向量为：$\overrightarrow{n_1}=(0,0,1)$。 设面 $B^{\prime }EF$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(u,v,w)$。 该平面内有两个方向向量： $\overrightarrow{EF}=\left(-\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right)⟹\text{取共线向量 }\overrightarrow{s_1}=(-1,1,0)$ $\overrightarrow{E{B}^{\prime }}=\left(0,\frac{a}{2},a\right)⟹\text{取共线向量 }\overrightarrow{s_2}=(0,1,2)$ 建立法向量方程组： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{s_1}=-u+v=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{s_2}=v+2w=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}u=v\\ v=-2w\end{array}$ 令 $w=-1$，则 $v=2,u=2$，得 $\overrightarrow{n_2}=(2,2,-1)$。 设二面角 $B^{\prime }-EF-B$ 的平面角为 $\theta$，由几何构型可知 $\theta$ 为锐角： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0+0-1|}{1\times \sqrt{2^2+2^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{3}$ 故 $\theta =\arccos \frac{1}{3}$。

二面角 $B^{\prime }-EF-B$ 的大小为 $\arccos \frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：立体几何问题的完全代数化（向量法）；二次函数最值在立体几何极值模型中的应用。
2. 核心方法：空间坐标系设参法、平面法向量求解法。
3. 避坑指南：

• 坐标参数化陷阱：在设定 $E,F$ 坐标时，极易因线段方向混淆导致坐标符号错误。必须严格依据点所在的线段及基准坐标点进行标定（如 $E$ 在 $AB$ 上，其横坐标恒为 $a$）。
• 二面角锐钝判定：向量法求出的夹角余弦值默认取绝对值对应锐角，必须结合几何体的实际空间构型判定二面角是锐角还是钝角。本题中 $B^{\prime }$ 在底面的投影 $B$ 在折线 $EF$ 的内侧，剖面呈锐角倾斜，故直接取正余弦值对应反三角函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于正方体模型中的动点垂直与体积最值问题，考查空间向量坐标法，是”建系—表示—计算”通法的典型载体，体现空间想象与代数运算的结合。

结论推广：正方体中 $AE=BF$ 时恒有 $A^{\prime }F\perp C^{\prime }E$；更一般地，当 $E,F$ 分别在 $AB,BC$ 上且满足 $AE=BF$ 时该垂直关系不变，可推广为异面直线垂直的判定模型。

方法推广：动点问题优先建系设参，将垂直、体积、二面角统一转化为向量运算；体积最值用二次函数配方，二面角用两法向量夹角公式，体现”几何问题代数化”的通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1958-湖南-07 解-正六棱锥的体积
• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1990-全国文-23 解-空间向量求二面角