2001-上海卷理-15 单-空间直线与平面的位置关系

本题导读

本题考查空间直线与平面的位置关系，以及异面直线的概念。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 已知 $a$、$b$ 为两条不同的直线， $\alpha$、$\beta$ 为两个不同的平面，且 $a\perp \alpha$，$b\perp \beta$，则下列命题中的假命题是 ()

A. 若 $a\parallel b$，则 $\alpha \parallel \beta$　　　　　　　　　　B. 若 $\alpha \perp \beta$，则 $a\perp b$

C. 若 $a$、$b$ 相交，则 $\alpha$、$\beta$ 相交　　　D. 若 $\alpha$、$\beta$ 相交，则 $a$、$b$ 相交

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立向量映射：因为 $a\perp \alpha$ 且 $b\perp \beta$，直线 $a,b$ 的方向向量可分别等效为其对应平面 $\alpha ,\beta$ 的法向量。
2. 逐项验证真伪：

• 将 (A)、(B) 转化为法向量的平行与垂直判定。
• 将 (C) 转化为两法向量不平行的必然推论。

3. 利用异面属性证伪：对于 (D)，面面相交仅说明法向量不平行（即两垂线不平行），但三维空间中不平行的两直线除相交外还存在异面状态。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设直线 $a,b$ 的方向向量分别为 $\vec{a},\vec{b}$，平面 $\alpha ,\beta$ 的法向量分别为 $\overrightarrow{n_{\alpha }},\overrightarrow{n_{\beta }}$。 因为 $a\perp \alpha ,b\perp \beta$，故 $\vec{a}\parallel \overrightarrow{n_{\alpha }}$ 且 $\vec{b}\parallel \overrightarrow{n_{\beta }}$。

• 对 (A) 项：若 $a\parallel b$，则 $\vec{a}\parallel \vec{b}$，进而推得 $\overrightarrow{n_{\alpha }}\parallel \overrightarrow{n_{\beta }}$。因为 $\alpha ,\beta$ 是不同的平面，法向量平行意味着平面必平行，即 $\alpha \parallel \beta$。此为真命题。
• 对 (B) 项：若 $\alpha \perp \beta$，则其法向量互相垂直 $\overrightarrow{n_{\alpha }}\perp \overrightarrow{n_{\beta }}$，进而推得 $\vec{a}\perp \vec{b}$，即直线 $a\perp b$。此为真命题。
• 对 (C) 项：若 $a,b$ 相交，则两直线必定不平行。即 $\vec{a}\nparallel \vec{b}$，进而推得 $\overrightarrow{n_{\alpha }}\nparallel \overrightarrow{n_{\beta }}$。两平面法向量不平行，则两平面必然相交。此为真命题。
• 对 (D) 项：若 $\alpha ,\beta$ 相交，则法向量 $\overrightarrow{n_{\alpha }}\nparallel \overrightarrow{n_{\beta }}$，说明直线 $a,b$ 不平行。但在三维空间中，不平行的两条直线位置关系包含“相交”或“异面”。故 $a,b$ 可以在空间中呈异面关系而互不相交。此为假命题。

(D)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直向线线/面面关系的法向量等效转换；空间直线的三种位置关系（平行、相交、异面）。
2. 核心方法：反例法、法向量同构法。
3. 避坑指南：

• 二维降维惯性陷阱：本题最易错选或误判 (D) 为真。在二维平面几何中，“不平行必相交”是铁律，但学生极易将其惯性代入三维空间中，忽略了空间独有的**异面直线（Skew Lines）**状态。解立体几何位置关系题，凡推导出“两线不平行”时，必须条件反射出“相交”与“异面”两个分支。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为立体几何经典概念辨析题，脱胎于欧几里得《几何原本》中关于三维空间公理体系的基本定理推论。
2. 结论推广： 在三维欧几里得空间 ${\mathbb{E}}^3$ 中，由正交投影关系可建立对偶命题不变量机制： 对于任意满足 $l_1\perp {\pi }_1$ 及 $l_2\perp {\pi }_2$ 的直线与平面映射对，关于角度的度量关系（平行/夹角/垂直）在降维投影（面到线）或升维映射（线到面）时是**严格双向同构（Isomorphic）**的。 但是，对于交点关系（相交性），仅有单向传递性：

• 一维（线）共面相交 $⟹$ 二维（面）必相交。
• 二维（面）相交 $⟹$ 一维（线）仅保证不平行，丧失共面强制约束（出现异面自由度损失）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切