2001-上海卷理-13 单-直线平行的判定条件

本题导读

本题考查直线平行的判定条件，以及充分必要条件。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） $a=3$ 是直线 $ax+2y+3a=0$ 和直线 $3x+(a-1)y=a-7$ 平行且不重合的 ()

A. 充分非必要条件　　　　　　　　　　B. 必要非充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既非充分也非必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 验证充分性：将 $a=3$ 直接代入两直线方程，检查斜率是否相等且截距是否不等，判定其是否平行且不重合。
2. 验证必要性：利用两直线平行的必要条件 $A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$ 建立关于 $a$ 的方程，求出所有可能的 $a$ 值。
3. 排除重合增根：将求得的 $a$ 值分别代入原方程，检验是否满足 $A_1{C}_2-A_2{C}_1\ne 0$（或截距不等），剔除使两直线重合的参数值，判定剩余条件是否仅为 $a=3$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

验证充分性（由 $a=3$ 推导几何位置） 当 $a=3$ 时，两直线方程分别化为： $l_1:3x+2y+9=0$ $l_2:3x+2y=3-7⟹3x+2y+4=0$ 显然两直线法向量相同，但常数项不同（$9\ne 4$），故两直线平行且不重合。 因此，$a=3$ 是充分条件。

验证必要性（由平行推导 $a$ 的值） 将直线 $l_2$ 化为标准一般式：$3x+(a-1)y-(a-7)=0$。 若两直线 $l_1:ax+2y+3a=0$ 与 $l_2$ 平行（含重合），则其对应系数必满足： $a(a-1)-2\times 3=0$ 展开并整理得： $a^2-a-6=0$ 解得： $a=3\text{或}a=-2$

检验参数剔除重合情况 将 $a=-2$ 代入两直线方程检验： $l_1:-2x+2y-6=0⟹x-y+3=0$ $l_2:3x-3y=-2-7⟹3x-3y+9=0⟹x-y+3=0$ 此时 $l_1$ 与 $l_2$ 方程完全一致，两直线重合，不符合题意，故 $a=-2$ 必须舍去。 因此，要使两直线平行且不重合，必须且只能有 $a=3$。 即两直线平行且不重合必定能推导出 $a=3$，故是必要条件。

综上所述，$a=3$ 是该几何关系的充要条件。

(C)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含参直线平行的代数判定（$A_1{B}_2=A_2{B}_1$ 且 $B_1{C}_2\ne B_2{C}_1$）；逻辑推导中充分性与必要性的双向验证。
2. 核心方法：交叉相乘法、代入检验法。
3. 避坑指南：

• 重合条件遗漏陷阱：利用 $A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$ 算出的参数 $a$ 仅保证了直线方向一致，它包含了“平行”与“重合”两种情况。必须将求得的根逐一反代回原方程组检查常数项比例，严格剔除使两线重合的假根，否则极易误判定为充分非必要条件而错选 (A)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为解析几何与简易逻辑相结合的经典基础题，考查《平面解析几何》中直线位置关系代数判定的完备性。
2. 结论推广： 对于一般式方程 $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ 和 $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$：

• 相交：$A_1{B}_2-A_2{B}_1\ne 0$
• 平行：$A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$ 且 $A_1{C}_2-A_2{C}_1\ne 0$
• 重合：$A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$ 且 $A_1{C}_2-A_2{C}_1=0$ 在高等代数中，这对应于线性方程组的系数矩阵秩与增广矩阵秩的判定：两直线平行对应于系数矩阵秩为 $1$ 而增广矩阵秩为 $2$（即方程组无解）；重合对应于增广矩阵秩也降为 $1$（即方程组有无穷多解）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-北京文-06 解-直线的平行与方程