2001-上海卷理-12 填-单利与复利模型

本题导读

本题考查单利与复利模型，以及数列模型的实际应用。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 甲、乙两人于同一天分别携款 1 万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为 2.88%.乙存一年期定期储蓄，年利率为 2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄.按规定每次计息时，储户须交纳利息的 20% 作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为$\underline{}$元.（假定利率五年内保持不变，结果精确到 1 分）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一初始本金单位：将 1 万元转化为 10000 元，以便后续精确到分（即保留两位小数）。
2. 计算甲的本息和 $W_{甲}$：甲存 5 年期定期，属于单利计息（即满 5 年时一次性结算 5 年总利息）。

• 总利息 = 本金 $\times$ 年利率 $\times$ 5；
• 税后总利息 = 总利息 $\times (1-20\%)$；
• 本息和 $W_{甲}$ = 本金 + 税后总利息。

3. 计算乙的本息和 $W_{乙}$：乙每年到期后本息滚存，属于复利计息（每年结算一次利息并扣税，剩余本息投入下一年）。

• 每年税后净得利率 = 年利率 $\times (1-20\%)$；
• 5 年后的本息和 $W_{乙}$ = 本金 $\times (1+\text{税后净得利率}{)}^5$。

4. 求差值并精确位数：计算 $|W_{甲}-W_{乙}|$ 的绝对值，通过多位小数乘方计算，最终四舍五入精确到 0.01 元（1分）。

✅【答案】

Success

$219.01$

✍【详细解析】

Abstract

计算甲 5 年后的本息和 $W_{甲}$ 初始本金 $P=10000$ 元，甲的五年期整存整取年利率为 $2.88\%$。 5 年满期时，一次性产生的总利息为： $I_{甲}=10000\times 2.88\%\times 5=1440\text{ 元}$ 扣除 $20\%$ 的利息税后，甲实际获得的净利息为： $I_{甲\text{-税后}}=1440\times (1-20\%)=1440\times 0.8=1152\text{ 元}$ 因此，甲 5 年后的税后本息之和为： $W_{甲}=10000+1152=11152\text{ 元}$

计算乙 5 年后的本息和 $W_{乙}$ 乙存一年期定期，年利率为 $2.25\%$，每年到期计息并自动扣税后将本息转存。 乙每年的税后净得年利率为： $r_{\text{净}}=2.25\%\times (1-20\%)=2.25\%\times 0.8=1.8\%=0.018$ 因此，乙每年滚存后的本息和模型满足复利递推公式。5 年后的税后本息之和为： $W_{乙}=10000\times (1+r_{\text{净}}{)}^5=10000\times (1.018{)}^5$

进行高精度乘方数值计算： $(1.018{)}^2=1.036324$ $(1.018{)}^4=(1.036324{)}^2\approx 1.07396746$ $(1.018{)}^5=1.07396746\times 1.018\approx 1.09329887$ 代入 $W_{乙}$ 的表达式中： $W_{乙}=10000\times 1.09329887\approx 10932.99\text{ 元}$

求甲与乙本息和的差值 将甲、乙两人的本息和作差： $\Delta W=W_{甲}-W_{乙}=11152-10932.99=219.01\text{ 元}$

219.01

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：单利终值模型与复利税后累乘递推模型的建立；高精度小数指数幂的代数级数计算。
2. 核心方法：金融精算建模法。
3. 避坑指南：

• 单复利机制混淆陷阱：极易将甲的 5 年期单利结算误作每年的复利，或将乙的每年扣税误作 5 年后统一扣税。必须严格按题干“每次计息时交纳”的刚性限制，将乙的税率在转存前先行扣除。
• 数值近似提前截断陷阱：在计算 $(1.018{)}^5$ 时，如果中途保留的有效位数不足（如直接截断为 $1.093$），乘以 10000 后会变成 10930，导致最终差值变为 222 元，从而因精确度失真（未精确到 1 分）而失分。中间过程计算务必多保留 2 至 3 位小数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于应用数学中的金融数学（Financial Mathematics）基础计算大题，取材于高中代数教材“数列的应用”章节关于复利增值与年金不变量探讨的经典提高题。
2. 结论推广： 本题可抽象推广为通用的**“非对称利税资本配置终值平衡方程”**： 设资产 $P$ 在单利年利率 $r_1$ 下期限为 $n$ 年，另在复利年利率 $r_2$ 下每年转存，税率为 $\tau$。则两者的资产终值差额解析通项公式为： $\Delta W=P\cdot \left[1+n\cdot r_1(1-\tau )\right]-P\cdot {\left[1+r_2(1-\tau )\right]}^n$ 该公式是现代商业银行在进行长短期理财产品（如大额存单 CD 与短期同业拆借）利差定价、以及财政部在发行固定国债（Treasury Bonds）进行免税额度贴现精算时的核心底层收益分配模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-38 解-数列与数学归纳法
• 1987-全国文-12 填-数列的极限
• 1987-全国文-20 解-数列的通项与极限