2001-上海卷理-09 填-古典概型与排列组合

本题导读

本题考查古典概型与排列组合，以及对立事件的概率计算。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 在大小相同的 6 个球中，2 个红球，4 个是白球.若从中任意选取 3 个，则所选的 3 个球中至少有 1 个红球的概率是$\underline{}$.（结果用分数表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算样本空间总事件数：从 6 个球中任意选取 3 个的所有基本事件总数，可用组合数 ${\text{C}}_6^3$ 计算。
2. 分析对立事件特征：目标事件是“至少有 1 个红球”，其包含“1个红球2个白球”和“2个红球1个白球”两种情况。由于分类繁琐，考虑其对立事件（即反面情况）——“没有红球”，也就是说“选取的 3 个球全部都是白球”。
3. 计算对立事件概率：从 4 个白球中任选 3 个的方法数为 ${\text{C}}_4^3$。用其除以总事件数得到对立事件的概率 $P(\bar{A})$。
4. 利用对立公式求结果：根据对立事件概率性质 $P(A)=1-P(\bar{A})$ 算出目标概率。

✅【答案】

Success

$\frac{4}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

计算从 6 个球中任选 3 个的总组合数 任意选取 3 个球的所有可能结果数为： $N={\text{C}}_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20\text{ 种}$

求对立事件（全选白球）的组合数及概率 设事件 $A$ 为“所选的 3 个球中至少有 1 个红球”。 其对立事件 $\bar{A}$ 为“所选的 3 个球中没有红球”，即“3 个球全为白球”。 因为白球一共有 4 个，所以全选白球的可能结果数为： $m={\text{C}}_4^3={\text{C}}_4^1=4\text{ 种}$

根据古典概型公式，对立事件 $\bar{A}$ 的概率为： $P(\bar{A})=\frac{m}{N}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$

利用对立事件公式求解目标概率 由对立事件的概率和为 1 可得： $P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$

$\frac{4}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型组合计数；对立事件性质 $P(A)+P(\bar{A})=1$ 的应用。
2. 核心方法：“正难则反”放缩化简法。凡是题干中出现“至少”、“至多”等关键词，优先考虑逆向思维。
3. 避坑指南：

• 正向计算分类遗漏陷阱：若坚持采用正向分类讨论，必须分为两类：
  • 第一类：1红2白，组合数为 ${\text{C}}_2^1\times {\text{C}}_4^2=2\times 6=12$ 种；
  • 第二类：2红1白，组合数为 ${\text{C}}_2^2\times {\text{C}}_4^1=1\times 4=4$ 种。 总数 $12+4=16$ 种，概率为 $\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$。正向做容易因为漏掉“2个红球全中”的边界分支而算错。
• 格式规范陷阱：题目明确限定“结果用分数表示”，最终结果必须化简为最简分数 $\frac{4}{5}$，切勿由于大意写成小数 0.8。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于概率与统计板块最基础的古典概型填空题，取材于高中数学教材“概率初步”章节关于非放回抽样（Hypergeometric Distribution 超几何分布的前置概念）的课后标配练习题。
2. 结论推广： 本题本质上属于**“超几何分布（Hypergeometric Distribution）”**模型在极端边界下的特例。 设有 $N$ 个产品，其中 $M$ 个次品，从中任取 $n$ 个，则至少有 1 个次品的概率通用代数闭式解为： $P=1-\frac{{\text{C}}_{N-M}^n}{{\text{C}}_N^n}$ 代入本题参数（总数 $N=6$，红球数 $M=2$，抽取数 $n=3$）： $P=1-\frac{{\text{C}}_{6-2}^3}{{\text{C}}_6^3}=1-\frac{{\text{C}}_4^3}{{\text{C}}_6^3}=1-\frac{4}{20}=\frac{4}{5}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2014-新课标Ⅰ理-05 单-古典概型
• 2000-上海文-10 填-古典概型
• 2000-新课标卷文-17 解-古典概型的抽取问题