2001-上海卷理-05 填-双曲线的标准方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 若双曲线的一个顶点坐标为 $(3,0)$，焦距为 10，则它的标准方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定焦点所在轴向：由已知顶点坐标为 $(3,0)$ 可知，该顶点位于 $x$ 轴上。因为双曲线的顶点必在实轴（即焦点所在轴）上，所以该双曲线的焦点在 $x$ 轴上，其标准方程形式为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
2. 提取基本量 $a,c$：

• 顶点在 $x$ 轴上对应坐标为 $(a,0)$，直接得出实半轴长 $a$；
• 焦距为 $2c=10$，由此求出半焦距 $c$。

3. 计算虚半轴方幂 $b^2$：利用双曲线中三个几何参数的内在平方和关系 $c^2=a^2+b^2$ 反解出 $b^2$。
4. 输出标准方程：将 $a^2$ 与 $b^2$ 代入 $x$ 轴标准模型中。

✅【答案】

Success

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

✍【详细解析】

Abstract

由顶点坐标确定焦点位置及参数 $a$ 已知双曲线的一个顶点坐标为 $(3,0)$。 因为该点坐标在 $x$ 轴上，根据双曲线的几何对称性，其实轴必然位于 $x$ 轴上。 由此判定双曲线的焦点在 $x$ 轴上，且实半轴长满足： $a=3⟹a^2=9$

由焦距确定参数 $c$ 并计算 $b^2$ 已知双曲线的焦距为 10，即： $2c=10⟹c=5⟹c^2=25$

根据双曲线中 $a,b,c$ 的几何方幂定义关系，满足： $c^2=a^2+b^2$ 将 $a^2=9,c^2=25$ 代入上式，反解虚半轴的平方 $b^2$： $b^2=c^2-a^2=25-9=16$

写出标准方程 将 $a^2=9,b^2=16$ 代入焦点在 $x$ 轴的标准方程模型 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中，得： $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线焦点位置的坐标性质判定；几何参数基本关系式 $c^2=a^2+b^2$。
2. 核心方法：几何元素待定系数法。
3. 避坑指南：

• 公式记忆混淆陷阱：在计算 $b^2$ 时，极易将双曲线的 $b^2=c^2-a^2$ 记错为椭圆的 $b^2=a^2-c^2$，导致算出不合规范的负值。必须时刻牢记双曲线中焦距参数 $c$ 是最大的量。
• 双解伪陷阱：部分学生一看到“一个顶点”，未加思索就认为可能需要分类讨论（如焦点在 $y$ 轴的情况）。但由于此顶点 $(3,0)$ 的坐标已经明确限定了其在 $x$ 轴上，空间方位已完全锁定，因此本题是单解，无须进行二次讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于圆锥曲线板块最基础、最典型的标准方程求解填空题，取材于高中解析几何教材“双曲线的标准方程与简单几何性质”章节的课后标配基础概念巩固题。
2. 结论推广： 本题所求得的标准双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 具有极其特殊的整系数比例（3:4:5 勾股数模型）。 基于该方程，可以衍生出关于其渐近线不变量的通用解析几何推广： 对于任意满足实半轴与虚半轴呈勾股数比例 $a:b:c=3:4:5$ 的标准双曲线，其渐近线方程恒满足 $y=\pm \frac{4}{3}x$，且离心率恒为固定常数 $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-16 填-双曲线的标准方程
• 1988-广东理-32 解-双曲线的几何性质
• 1989-广东文-15 单-双曲线的方程