2001-上海卷理-04 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 二项式 ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^6$ 的展开式中常数项的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出二项展开式的通项公式：应用公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 写出原二项式展开的第 $r+1$ 项。
2. 合并同底数幂并分离变量：将通项中的自变量 $x$ 提取合并，使各项系数与含有 $x$ 的指数幂部分彻底分离。
3. 建立常数项方程求解 $r$：常数项意味着自变量 $x$ 的指数为 0。令合并后的 $x$ 的指数等于 0，解出 $r$ 的具体数值，最后代入系数中算得最终常数。

✅【答案】

Success

$20$

✍【详细解析】

Abstract

写出二项式的通项公式 已知二项式为 ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^6$，其中总幂次 $n=6$。 其展开式的通项公式 $T_{r+1}$ 为： $T_{r+1}={\text{C}}_6^r\cdot x^{6-r}\cdot {\left(\frac{1}{x}\right)}^r(0\le r\le 6,r\in \mathbb{Z})$

化简通项解析式 将 ${\left(\frac{1}{x}\right)}^r$ 写成负指数幂形式 $x^{-r}$ 并代入通项中： $T_{r+1}={\text{C}}_6^r\cdot x^{6-r}\cdot x^{-r}$ 利用同底数幂相乘，指数相加的法则合并 $x$ 的指数： $T_{r+1}={\text{C}}_6^r\cdot x^{6-2r}$

求解常数项的值 要求展开式中的常数项，即要求该项中不包含自变量 $x$，即满足 $x$ 的指数为 0。 令指数部分为 0，建立方程： $6-2r=0⟹2r=6⟹r=3$

将 $r=3$ 代入通项公式的系数部分，求得该常数项的值为： $T_4={\text{C}}_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$

20

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式通项模型 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$；常数项对应指数为零的代数限界。
2. 核心方法：通项指数待定系数法。
3. 避坑指南：

• 项数与角标错位陷阱：本题算出 $r=3$，对应的是展开式中的第 4 项（因为通项公式左侧是 $T_{r+1}$）。虽然填空题只需写出数值 20，但在解答大题时，切勿将“第几项”与 $r$ 的数值混淆。
• 组合数计算失误陷阱：在计算 ${\text{C}}_6^3$ 时，注意分母是 $3!=6$，极易由于粗心将其算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于二项式定理板块最基础、最典型的基本技能考查填空题，取材于高中代数教材“计数原理与二项式定理”章节的课后标配练习题。
2. 结论推广： 对于通用的对称型二项式 ${\left(A{x}^k+\frac{B}{x^k}\right)}^{2m}$，其展开式中必然存在唯一的常数项。由对称性可知，当 $r=m$（即项数恰好为正中间项）时， $x$ 的正负幂次完全相互抵消。此时常数项的值恒为固定不变量： $\text{Constant Term}={\text{C}}_{2m}^m{A}^m{B}^m$ 将本题参数 $2m=6⟹m=3,A=1,B=1$ 代入该模型，直接输出： ${\text{C}}_6^3\cdot 1^3\cdot 1^3=20$。

🔗【关联脉络】

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