2001-上海文-07 填-组合计数应用

本题导读

本题考查组合数的应用，以及实际背景下的计数。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(文)） 某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 $2$ 荤 $2$ 素共 $4$ 种不同的品种.现在餐厅准备了 $5$ 种不同的荤菜，若要保证每位顾客有 $200$ 种以上不同的选择，则餐厅至少还需要准备不同的素菜品种$\underline{}$种（结果用数值表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设素菜 $n$ 种，选法 $C_5^2{C}_n^2$。
2. 解 $5n(n-1)>200$ 求最小整数 $n$。

✅【答案】

Success

$7$

✍【详细解析】

Abstract

设还需准备 $n$ 种素菜，则每位顾客的选择种数为 $C_5^2{C}_n^2=10\times \frac{n(n-1)}{2}=5n(n-1)$．要保证有 $200$ 种以上选择，需 $5n(n-1)>200$，即 $n(n-1)>40$．当 $n=6$ 时 $6\times 5=30<40$，当 $n=7$ 时 $7\times 6=42>40$，故至少还需准备 $7$ 种素菜．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：组合计数应用

核心方法：选菜数 $C_5^2{C}_n^2=10\cdot \frac{n(n-1)}{2}=5n(n-1)$，需 $5n(n-1)>200$，即 $n(n-1)>40$，最小整数 $n=7$

避坑指南：组合计数解不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材组合数的应用

结论推广：一般地，组合数 $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

方法推广：组合计数解不等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2006-上海文-10 填-古典概型组合计数
• 2009-大纲Ⅱ文-10 单-选课组合计数
• 2007-浙江文-16 填-购买组合计数