2001-上海文-04 填-集合交集与对数方程

本题导读

本题考查集合的交集，以及对数方程与三角函数范围的结合。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(文)） 设集合 $A=\left\{x\mid 2\lg x=\lg (8x-15),x\in \mathbf{R}\right\}$，$B=\left\{x\mid \cos \frac{x}{2}>0,x\in \mathbf{R}\right\}$，则 $A\cap B$ 的元素个数为$\underline{}$个.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解 $2\lg x=\lg (8x-15)$ 得 $x=3$ 或 $5$。
2. 检验两解是否满足 $\cos \frac{x}{2}>0$。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

由 $2\lg x=\lg x^2=\lg (8x-15)$（真数 $8x-15>0$ 且 $x>0$）得 $x^2=8x-15$，即 $x^2-8x+15=0$，解得 $x=3$ 或 $x=5$．再检验是否在 $B$ 中：$\cos \frac{3}{2}>0$（$0<\frac{3}{2}<\frac{\pi }{2}$），故 $x=3$ 在 $B$ 内；$\cos \frac{5}{2}<0$（$\frac{\pi }{2}<\frac{5}{2}<\pi$），故 $x=5$ 不在 $B$ 内．因此 $A\cap B=\{3\}$，元素个数为 $1$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合交集与对数方程

核心方法：$2\lg x=\lg (8x-15)$ 得 $x^2=8x-15$，$x=3$ 或 $5$；$B=\{x\mid \cos \frac{x}{2}>0\}$，检验 $\cos \frac{3}{2}>0$、$\cos \frac{5}{2}<0$，仅 $x=3$ 在 $B$ 内，故 $A\cap B$ 有 $1$ 个元素

避坑指南：对数方程化同底，检验三角范围

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材对数方程与集合

结论推广：一般地，对数方程化同底需检验定义域与范围

方法推广：对数化同底 + 三角范围检验

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-01 单-集合交集
• 2002-上海卷文-03 填-对数方程求解
• 2004-北京卷文-10 填-对数方程求解