2000-新课标理-21 解-长方体的棱长总和与体积公式

本题导读

本题考查导数在立体几何最值应用题中的应用。核心意图在于测试学生将实际框架制作问题转化为三次函数数学模型的能力，通过求导判定函数的单调性，从而精确求出使容积达到最大时的几何度量参数。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 用总长 $14.8\text{ m}$ 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长 $0.5\text{ m}$，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设定自变量并建立函数模型：设底面的一边长为 $x\text{ m}$，则另一边长为 $(x+0.5)\text{ m}$。利用长方体的棱长总和公式 $L=4(a+b+h)=14.8$ 建立方程，将高 $h$ 用含 $x$ 的代数式表示出来。
2. 确定自变量的实际定义域：根据边长、高均大于 0 的实际物理意义，列出不等式组，确定自变量 $x$ 的有效取值范围。
3. 构建容积目标函数：根据长方体体积公式 $V=abh$，将 $a,b,h$ 代入，得到关于 $x$ 的三次函数 $V(x)$。
4. 利用导数求极值与最值：对 $V(x)$ 进行求导，令导函数 $V^{\prime }(x)=0$ 寻找驻点。结合单调性确定最大值点，进而逆推出对应的高 $h$ 以及最大容积值。

✅【答案】

Success

当高为 $1.2\text{ m}$ 时容器容积最大，最大容积为 $1.8{\text{ m}}^3$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：几何关系参数化与消元 设长方体底面的一边长为 $x\text{ m}$，则底面的另一边长为 $(x+0.5)\text{ m}$。设长方体的高为 $h\text{ m}$。 长方体共有 12 条棱（长、宽、高各 4 条），根据钢条总长为 $14.8\text{ m}$ 可得： $4[x+(x+0.5)+h]=14.8$ 两边同时除以 4 得： $2x+0.5+h=3.7$ 从而可以把高 $h$ 用自变量 $x$ 显式表示： $h=3.2-2x\text{(1)}$

根据实际几何意义，各边长及高必须严格大于 0： $\{\begin{array}{l}x>0\\ x+0.5>0\\ 3.2-2x>0\end{array}⟹0<x<1.6$ 即自变量的实际定义域为 $x\in (0,1.6)$。

第二步：构建容积目标函数 $V(x)$ 长方体容器的容积 $V$ 为底面积与高的乘积，代入 ① 式消参： $V(x)=x(x+0.5)(3.2-2x)$ 展开多项式以方便后续求导： $V(x)=(x^2+0.5x)(3.2-2x)$ $V(x)=3.2x^2-2x^3+1.6x-x^2$ $V(x)=-2x^3+2.2x^2+1.6x$

第三步：利用导数求最值 对体积函数 $V(x)$ 关于 $x$ 求导： $V^{\prime }(x)=-6x^2+4.4x+1.6$

令导函数 $V^{\prime }(x)=0$，得到关于 $x$ 的一元二次方程： $-6x^2+4.4x+1.6=0$ 两边同乘以 $-5$ 进行整数化化简： $30x^2-22x-8=0⟹15x^2-11x-4=0$ 利用十字相乘法因式分解： $(15x+4)(x-1)=0$ 解得方程的两个根为： $x_1=-\frac{4}{15},x_2=1$

由于 $-\frac{4}{15}\notin (0,1.6)$，舍去。故在定义域内唯一的驻点为 $x=1$。

分析 $V(x)$ 在区间 $(0,1.6)$ 上的单调性：

• 当 $0<x<1$ 时， $V^{\prime }(x)>0$，函数 $V(x)$ 严格单调递增；
• 当 $1<x<1.6$ 时， $V^{\prime }(x)<0$，函数 $V(x)$ 严格单调递减。

因此，当 $x=1$ 时，体积函数 $V(x)$ 取得极大值，该极大值亦为定义域区间内的绝对最大值。

第四步：求最大值对应的几何量

1. 计算此时的高 $h$： 将 $x=1$ 代入 ① 式中： $h=3.2-2(1)=1.2\text{ m}$

2. 计算容器的最大容积 $V_{\text{max}}$： 将 $x=1$ 代入体积函数中： $V_{\text{max}}=1\times (1+0.5)\times 1.2=1\times 1.5\times 1.2=1.8{\text{ m}}^3$

答：当高为 $1.2\text{ m}$ 时容器的容积最大，最大容积为 $1.8{\text{ m}}^3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：立体几何度量参数的代数方程化消元；实际应用题目标函数的导数最值判定法。
2. 核心方法：导数单调性分析法。
3. 避坑指南：

• 高、宽、长总数量记错陷阱：在建立棱长总和方程时，容易习惯性错套用二维矩形周长公式写成 $2(x+y)$，或者漏掉长方体长、宽、高各由 4 条钢条构成的几何事实。必须牢记长方体有 12 条棱，系数为 4。
• 实际定义域遗漏陷阱：大题中必须写出符合物理实际的自变量范围（$0<x<1.6$），虽然本题的负根被直觉排除，但若不显式写出取值域，在阅卷标准中会因“模型不完备”被扣除步骤分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的微积分初步与立体几何交叉的应用解答题，旨在考查学生将数学工具解决实际工业生产、仓储容积优化等工程实际问题的能力。直接取材于高中数学“导数及其应用”章节关于“函数的最大值与最小值”的标准课后巩固应用大题。
2. 结论推广： 在运筹学与最优化理论中，本题属于典型的有约束条件的多维规划问题。 对于限定周长（或棱长总和 $L$）的几何体，当且仅当各边长相互接近甚至相等（即正方体）时，其体积达到全局最大。本题由于附加了“底面一边比另一边长固定常数 $d_0$”的几何非对称约束，导致全局最优解由各边绝对相等向包含约束差的平衡点迁移。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1977-辽宁-12 解-圆柱用料最省
• 1982-全国文-05 解-篱笆围场的最大面积
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断