2000-新课标理-18甲 解-空间向量的空间坐标系表示

本题导读

本题考查空间向量在立体几何中的应用。核心意图在于测试学生利用直三棱柱的垂直关系建立空间直角坐标系，将空间几何体的线段长、线线夹角及垂直判定完全转化为向量代数运算的能力。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 【甲】 如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ ，底面 $△ABC$ 中， $CA=CB=1$ ， $\angle BCA=90^{\circ }$ ，棱 $A{A}_1=2$ ， $M、N$ 分别是 $A_1{B}_1、A_{1}A$ 的中点．

(1)求 $\overrightarrow{BN}$ 的长；

(2)求 $\cos ⟨\overrightarrow{B{A}_1},\overrightarrow{C{B}_1}⟩$ 的值；

(3)求证 $A_{1}B\perp C_{1}M$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：由直三棱柱性质可知，侧棱 $C{C}_1\perp$ 底面 $ABC$，且底面中 $CA\perp CB$。因此以 $C$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{C{C}_1}$ 的方向为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。
2. 写出关键点与向量的坐标：根据已知棱长，分别写出点 $A,B,C_1,A_1,B_1$ 以及中点 $M,N$ 的坐标，进而得到相关向量的坐标表示。
3. 第一问分析：利用向量模长公式 $|\overrightarrow{BN}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 直接计算。
4. 第二问分析：利用空间向量夹角余弦公式 $\cos ⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩=\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$ 计算。
5. 第三问分析：计算数量积 $\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \overrightarrow{C_{1}M}$，若结果为 0，则两向量垂直，即对应空间直线垂直。

✅【答案】

Success

(1) $|\overrightarrow{BN}|=\sqrt{3}$

(2) $\cos ⟨\overrightarrow{B{A}_1},\overrightarrow{C{B}_1}⟩=\frac{\sqrt{30}}{10}$

(3) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立空间直角坐标系并确定各点坐标

因为直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，侧棱与底面垂直，且底面 $△ABC$ 中 $\angle BCA=90^{\circ }$。 以 $C$ 为原点，射线 $CB,CA,C{C}_1$ 分别为 $x$ 轴, $y$ 轴, $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系 $C-xyz$。

由题意 $CA=CB=1,A{A}_1=2$，可得各顶点坐标如下：

• $C(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$, $A(0,1,0)$
• $C_1(0,0,2)$, $B_1(1,0,2)$, $A_1(0,1,2)$

由于 $M$ 是 $A_1{B}_1$ 的中点，由中点坐标公式得： $M\left(\frac{1+0}{2},\frac{0+1}{2},\frac{2+2}{2}\right)⟹M\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},2\right)$ 由于 $N$ 是 $A_{1}A$ 的中点，同理得： $N\left(0,1,\frac{2+0}{2}\right)⟹N(0,1,1)$

（1）求 $\overrightarrow{BN}$ 的长

由 $B(1,0,0)$ 和 $N(0,1,1)$ 可得向量 $\overrightarrow{BN}$ 的坐标为： $\overrightarrow{BN}=(0-1,1-0,1-0)=(-1,1,1)$ 利用空间向量模长公式计算其长度： $|\overrightarrow{BN}|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$

答： $\overrightarrow{BN}$ 的长为 $\sqrt{3}$。

（2）求 $\cos ⟨\overrightarrow{B{A}_1},\overrightarrow{C{B}_1}⟩$ 的值

首先求出向量 $\overrightarrow{B{A}_1}$ 与 $\overrightarrow{C{B}_1}$ 的坐标表示： $\overrightarrow{B{A}_1}=(0-1,1-0,2-0)=(-1,1,2)$ $\overrightarrow{C{B}_1}=(1-0,0-0,2-0)=(1,0,2)$

分别计算两向量的数量积和各自的模长： $\overrightarrow{B{A}_1}\cdot \overrightarrow{C{B}_1}=(-1)\times 1+1\times 0+2\times 2=-1+0+4=3$ $|\overrightarrow{B{A}_1}|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+2^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$ $|\overrightarrow{C{B}_1}|=\sqrt{1^2+0^2+2^2}=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}$

代入向量夹角公式： $\cos ⟨\overrightarrow{B{A}_1},\overrightarrow{C{B}_1}⟩=\frac{\overrightarrow{B{A}_1}\cdot \overrightarrow{C{B}_1}}{|\overrightarrow{B{A}_1}|\cdot |\overrightarrow{C{B}_1}|}=\frac{3}{\sqrt{6}\times \sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$

答： $\cos ⟨\overrightarrow{B{A}_1},\overrightarrow{C{B}_1}⟩$ 的值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$。

（3）求证 $A_{1}B\perp C_{1}M$

首先写出向量 $\overrightarrow{A_{1}B}$ 与 $\overrightarrow{C_{1}M}$ 的坐标表示： $\overrightarrow{A_{1}B}=(1-0,0-1,0-2)=(1,-1,-2)$ $\overrightarrow{C_{1}M}=\left(\frac{1}{2}-0,\frac{1}{2}-0,2-2\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$

计算这两个向量的空间数量积： $\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \overrightarrow{C_{1}M}=1\times \frac{1}{2}+(-1)\times \frac{1}{2}+(-2)\times 0=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+0=0$

因为 $\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \overrightarrow{C_{1}M}=0$，所以 $\overrightarrow{A_{1}B}\perp \overrightarrow{C_{1}M}$。 即两向量对应的空间直线相互垂直： $A_{1}B\perp C_{1}M$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直角坐标系的建立准则；两点间距离及向量夹角公式；数量积零值与垂直的等价性。
2. 核心方法：坐标代数化（建系法）。
3. 避坑指南：

• 减数与被减数颠倒陷阱：在写向量坐标时，严格遵守**“后点坐标减前点坐标”**（如 $\overrightarrow{B{A}_1}=A_1-B$）。颠倒顺序会导致向量方向反转，虽然不影响模长和垂直判定，但在计算夹角余弦值时会产生正负号错误。
• 中点坐标计算粗心陷阱：计算 $M$ 点坐标时，注意其位于上底面， $z$ 轴坐标为 2，不要习惯性地误算成中间高度 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的立体几何坐标法应用大题，取材于高中数学“空间向量与立体几何”章节关于直三棱柱性质拓展的经典课后复习题。
2. 结论推广： 利用空间向量坐标法解决立体几何问题，具有将复杂的空间几何想象（如作辅助线、找射影、平移移角等）转化为纯代数向量运算的优势。其通用的垂直判据公式： $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2=0⟺\mathbf{u}\perp \mathbf{v}$ 这一代数转换构成了计算机辅助设计（CAD）软件在进行三维空间实体碰撞检测与正交校准时的底层几何算法内核。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比
• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-四川文-18 解-向量与解三角形