2000-新课标理-17 解-古典概型

本题导读

本题考查古典概型的基本计算。核心意图在于测试学生对不放回依次抽样过程中概率状态变化的理解，要求能够建立严谨的分步乘法模型，并熟练运用对立事件实现复杂概率组合的逆向化简。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4 个.甲、乙二人依次各抽一题.

(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？

(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问分析：该事件是一个分步连续发生的事件。

• 第一步：甲先从 10 题中随机抽取 1 题，要求抽到选择题；
• 第二步：由于是不放回抽样，此时题目总数还剩 9 个。在剩下的题目中，判断题的数量依然是 4 个，要求乙抽到判断题。
• 利用分步乘法原理将两步概率相乘。

2. 第二问分析：“至少有一人抽到选择题”的正面包含三种情况：甲选乙判、甲判乙选、甲选乙选。直接分类计算较为繁琐。可采取**“正难则反”**策略，先求其对立事件“两人都抽到判断题”的概率，再用 1 减去该概率。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{4}{15}$

(2) $\frac{13}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求解甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率

设事件 $A$ 为“甲抽到选择题，乙抽到判断题”。 该事件的发生分为两个相继步骤：

1. 甲先抽取：总题数为 10 个，选择题有 6 个，故甲抽到选择题的概率为： $P_1=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

2. 乙后抽取：甲抽取完 1 个选择题后不放回，此时总题数还剩 $10-1=9$ 个，其中选择题还剩 5 个，判断题仍为 4 个。因此，在甲抽到选择题的前提下，乙抽到判断题的条件概率为： $P_2=\frac{4}{9}$

根据分步乘法原理，甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为： $P(A)=P_1\times P_2=\frac{6}{10}\times \frac{4}{9}=\frac{24}{90}=\frac{4}{15}$

答：甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是 $\frac{4}{15}$。

（2）求解甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率

设事件 $B$ 为“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”。 其对立事件 $\overline{B}$ 为“甲、乙二人都抽到判断题”。

1. 计算对立事件 $P(\overline{B})$ 的概率：

• 甲先抽取：从 10 题中抽到判断题的概率为 $\frac{4}{10}$；
• 乙后抽取：剩余 9 题中判断题还剩 3 个，抽到判断题的概率为 $\frac{3}{9}$。

根据分步乘法原理： $P(\overline{B})=\frac{4}{10}\times \frac{3}{9}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}$

2. 利用对立事件公式求 $P(B)$： $P(B)=1-P(\overline{B})=1-\frac{2}{15}=\frac{13}{15}$

答：甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是 $\frac{13}{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分步条件概率链条；对立事件概率恒等式 $P(A)=1-P(\overline{A})$。
2. 核心方法：间接排除（正难则反）法。
3. 避坑指南：

• 分母保持不变陷阱：本题极易在计算乙的概率时，习惯性地把分母依然写成 10，算成 $\frac{6}{10}\times \frac{4}{10}$。必须明确依次各抽一题属于典型的不放回抽样，后者的样本空间总数必然递减。
• 至少模型遗漏分类陷阱：若第（2）问采用正面分类硬算，必须涵盖“甲选乙判（$\frac{6}{10}\times \frac{4}{9}$）+ 甲判乙选（$\frac{4}{10}\times \frac{6}{9}$）+ 甲选乙选（$\frac{6}{10}\times \frac{5}{9}$）”三种情况，漏掉任何一种都会导致结果错误。因此，遇到“至少”表述时，首选对立事件法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于古典概型与不放回抽样的基础解答题，直接取材于高中数学课本“概率”章节中关于“互斥事件与独立事件”的课后大题。
2. 结论推广： 在不放回抽样古典概型中，若总球数为 $N$，其中有 $M$ 个红球。现依次不放回抽取 $n$ 次。由概率对称性可知：第 $k$ 次抽到红球的概率与抽取的先后顺序无关，恒为 $\frac{M}{N}$。 例如本题中，若单求“乙抽到选择题的概率”，其结果与甲完全相同，依然是 $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。熟练掌握这一抽签公平性原理，可简化大量复杂的全概率条件展开运算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2004-湖南文-19 解-独立事件概率
• 2007-江西文-19 解-独立事件概率
• 2001-上海卷理-09 填-古典概型与排列组合