2000-新课标理-10 单-圆的标准方程与一般方程

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系。核心意图在于测试学生利用圆心到切线的距离等于半径这一几何特征建立代数方程，并结合“切点在第三象限”的几何限制条件筛选出正确直线方程的能力。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 过原点的直线与圆 $x^2+y^2+4x+3=0$ 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是()

A. $y=\sqrt{3}x$　　　B. $y=-\sqrt{3}x$　　　C. $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$　　　D. $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定圆的几何要素：将圆的一般方程配方化为标准方程，求出圆心坐标和半径长。
2. 设定直线方程：由于直线过原点，且选项中直线的斜率均存在，可设直线方程为 $y=kx$（即 $kx-y=0$）。
3. 利用相切条件列式求解：根据圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式求出斜率 $k$ 的可能值。
4. 数形结合进行象限筛选：画出圆与切线的空间位置草图，依据“切点在第三象限”这一约束，判定切线斜率 $k$ 的正负号符号特征。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求解圆的圆心与半径 已知圆的一般方程为： $x^2+y^2+4x+3=0$ 对 $x$ 进行配方整理： $(x^2+4x+4)+y^2=4-3$ $(x+2{)}^2+y^2=1$

由此可知：

• 圆心坐标为 $M(-2,0)$；

• 圆的半径 $R=1$。

第二步：利用圆心到直线的距离等于半径求解斜率 因为直线过原点 $(0,0)$，设直线的方程为： $y=kx⟹kx-y=0$

根据直线与圆相切的几何充要条件，圆心 $M(-2,0)$ 到该直线的距离 $d$ 必须等于半径 $R$： $d=\frac{|k(-2)-0|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}=1$ $\frac{|-2k|}{\sqrt{k^2+1}}=1$

两边同时平方以消去绝对值与根号： $\frac{4k^2}{k^2+1}=1⟹4k^2=k^2+1$ $3k^2=1⟹k^2=\frac{1}{3}⟹k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

第三步：结合切点位置筛选斜率 圆心位于 $M(-2,0)$，半径为 1，说明整个圆完全分布在第二、第三象限内。 过原点向该圆引两条切线：

• 当斜率 $k>0$ 时，直线经过第一、第三象限，其与圆的切点必然落在第三象限；
• 当斜率 $k<0$ 时，直线经过第二、第四象限，其与圆的切点必然落在第二象限。

题目明确要求“切点在第三象限”，因此直线的斜率必须满足 $k>0$。 故取： $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$

代入直线方程得： $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$

答案： C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的标准方程转化；点到直线距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$；直线与圆相切的代数判定。
2. 核心方法：“几何距离法（$d=R$）”。处理直线与圆相切时，几何法比将直线代入圆方程后令 $\Delta =0$ 的代数法计算量更小，更具抗错性。
3. 避坑指南：容易在求出 $k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ 后，仅通过“第三象限的坐标都是负的”这一直觉误判定斜率，或者在第二、第三象限的空间相对方位上产生混淆。必须通过作图或者分析切线倾斜角来确认：过原点向第二、三象限的圆引切线，倾斜角较小的切线（在下侧的那条）斜率为正，切点在第三象限。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的直线与圆位置关系的综合选择题，取材于高中解析几何教材中“直线与圆的位置关系”章节关于圆的切线方程求解的标准能力拔高题。
2. 结论推广： 在解析几何中，过原点 $(0,0)$ 向任意已知圆 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$ 引切线，若切线斜率存在，其满足的通用代数方程为： $(x_0^2-R^2)k^2-2x_0{y}_{0}k+(y_0^2-R^2)=0$ 代入本题参数 $x_0=-2,y_0=0,R=1$： $\left((-2{)}^2-1\right)k^2-0+(0-1)=0⟹3k^2-1=0⟹k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ 这一方程模型在解决圆外一点引圆的切线长及切线方程组的大题时，具有直接的化简复用价值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 2006-陕西文-05 单-直线与圆相切