2000-新课标理-08 单-定积分的几何意义

本题导读

本题考查定积分在求解平面曲线围成图形面积中的应用。核心意图在于测试学生根据图象准确建立定积分表达式，并熟练运用微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）进行定量代数计算的能力。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 图中阴影部分的面积是()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　　B. $9-2\sqrt{3}$　　　　　　C. $\frac{32}{3}$　　　　　　D. $\frac{35}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定积分的上、下限：通过观察图象中两条曲线的交点坐标 $(-3,-6)$ 和 $(1,2)$，确定积分的下限为 $x=-3$，上限为 $x=1$。
2. 确定被积函数：在区间 $[-3,1]$ 上，抛物线 $y=3-x^2$ 的图象始终位于直线 $y=2x$ 的上方。因此，被积函数为上曲线减去下曲线，即 $(3-x^2)-2x$。
3. 计算定积分：求出被积函数的原函数，代入上下限利用牛顿-莱布尼茨公式求出面积值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立定积分表达式 由图象可知，阴影部分由抛物线 $y=3-x^2$ 与直线 $y=2x$ 围成。 两曲线交点的横坐标分别为 $x=-3$ 和 $x=1$。 在区间 $[-3,1]$ 上，恒有 $3-x^2\ge 2x$。 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积 $S$ 为： $S={\int }_{-3}^1[(3-x^2)-2x]\text{d}x={\int }_{-3}^1(3-2x-x^2)\text{d}x$

第二步：求原函数并计算积分值 计算被积函数 $3-2x-x^2$ 的一个原函数： $F(x)=3x-x^2-\frac{1}{3}{x}^3$

根据牛顿-莱布尼茨公式，代入上下限进行计算： $S=F(1)-F(-3)$ $F(1)=3(1)-(1{)}^2-\frac{1}{3}(1{)}^3=3-1-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$ $F(-3)=3(-3)-(-3{)}^2-\frac{1}{3}(-3{)}^3=-9-9-\frac{1}{3}(-27)=-18+9=-9$

因此，阴影部分的面积为： $S=\frac{5}{3}-(-9)=\frac{5}{3}+9=\frac{32}{3}$

答案： C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定积分求面积通式 $S={\int }_a^b[f(x)-g(x)]\text{d}x$；基本初等函数的积分公式。
2. 核心 method：上曲线减下曲线积分法。
3. 避坑指南：

• 被积函数颠倒陷阱：极易错将直线方程作为上曲线减去抛物线，导致算出的积分值为负数。必须明确面积恒为正值，必须用上方的图象边界减去下方的图象边界。
• 负号代入运算陷阱：在计算 $F(-3)$ 时，多重负号交叠（如 $-(-3{)}^2$ 与 $-3^3$），极易由于粗心发生符号计算混乱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于微积分初步在几何面积计算中的典型应用题，直接取材于高中数学选修板块“定积分与微积分基本定理”章节关于“汽车走过的路程与平面图形面积”的章末标准能力检测大题。
2. 结论推广：对于任意开口向下且与直线相交的抛物线围成图形面积，若交点横坐标分别为 $x_1,x_2(x_1<x_2)$，则被积函数恒可化为 $A(x-x_1)(x_2-x)$ 的结构。其面积计算可直接套用如下面积公式： $S=\frac{|A|}{6}(x_2-x_1{)}^3$ 代入本题参数 $A=-1,x_1=-3,x_2=1$： $S=\frac{|-1|}{6}(1-(-3){)}^3=\frac{1}{6}\times 4^3=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}$ 掌握该模型可在考场上直接免去繁琐的求导与代数带入过程，实现 5 秒直接心算破题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷理-07 单-定积分的几何意义与物理意义
• 1977-辽宁-13 解-定积分求面积
• 2009-福建卷理-04 单-微积分基本定