2000-新课标理-04 单-平面向量的数量积性质

本题导读

本题考查平面向量的数量积运算、向量的模及几何不等式。核心意图在于测试学生对向量数量积的非结合律、三角形不等式的边界条件、以及向量垂直代数判定式的严谨理解能力。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 设 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ① $(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})\mathbf{c}-(\mathbf{c}\cdot \mathbf{a})\mathbf{b}=0$； ② $|\mathbf{a}|-|\mathbf{b}|<|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$； ③ $(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})\mathbf{a}-(\mathbf{c}\cdot \mathbf{a})\mathbf{b}$ 不与 $\mathbf{c}$ 垂直； ④ $(3\mathbf{a}+2\mathbf{b})\cdot (3\mathbf{a}-2\mathbf{b})=9|\mathbf{a}{|}^2-4|\mathbf{b}{|}^2$ 中，是真命题的有()

A. ①②　　　　　　　B. ②③　　　　　　　C. ③④　　　　　　　D. ②④

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题 ①：数量积 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 与 $\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}$ 均为实数。因此， $(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$ 是与 $\mathbf{c}$ 共线的向量， $(\mathbf{c}\cdot \mathbf{a})\mathbf{b}$ 是与 $\mathbf{b}$ 共线的向量。由于 $\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{c}$ 不共线，两向量相减不可能恒为零向量。
2. 分析命题 ②：探讨绝对值不等式（三角形不等式） $||\mathbf{a}|-|\mathbf{b}||\le |\mathbf{a}-\mathbf{b}|$ 的取等条件。由于两向量不共线，无法取到等号；同时去掉绝对值后左边变小，需判定不等号是否恒成立。
3. 分析命题 ③：计算该复合向量与 $\mathbf{c}$ 的数量积。若数量积恒为 0，则说明它们相互垂直，从而判定命题真假。
4. 分析命题 ④：利用平面向量数量积的分配律和同底平方性质 $|\mathbf{x}{|}^2=\mathbf{x}\cdot \mathbf{x}$，直接展开左侧代数式进行验证。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

① 命题分析： $(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$ 是一个实数，记为 $\lambda$； $(\mathbf{c}\cdot \mathbf{a})$ 也是一个实数，记为 $\mu$。 则左边式子等于 $\lambda \mathbf{c}-\mu \mathbf{b}$。 因为已知 $\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{c}$ 是相互不共线的非零向量，根据平面向量基本定理，仅当 $\lambda =\mu =0$ 时该线性组合才为 $0$。 而对于任意非零向量，数量积不一定为 0，故该式不恒等于 $0$。 因此，命题 ① 为假命题。

② 命题分析： 根据向量的模的性质（三角形不等式性质）： $||\mathbf{a}|-|\mathbf{b}||\le |\mathbf{a}-\mathbf{b}|$ 由于已知 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 相互不共线，由向量减法的几何意义， $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 可构成一个非退化的三角形。在三角形中，两边之差必然小于第三边，即： $||\mathbf{a}|-|\mathbf{b}||<|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$ 因为 $|\mathbf{a}|-|\mathbf{b}|\le ||\mathbf{a}|-|\mathbf{b}||$，由传递性必然有： $|\mathbf{a}|-|\mathbf{b}|<|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$ 因此，命题 ② 为真命题。

③ 命题分析： 为了判定向量 $(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})\mathbf{a}-(\mathbf{c}\cdot \mathbf{a})\mathbf{b}$ 是否与 $\mathbf{c}$ 垂直，计算它们之间的数量积： $[(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})\mathbf{a}-(\mathbf{c}\cdot \mathbf{a})\mathbf{b}]\cdot \mathbf{c}$ 根据数量积的分配律展开上式（注意数量积结果是实数，可以提取）： $=(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})-(\mathbf{c}\cdot \mathbf{a})(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})$ 因为平面向量数量积满足交换律，即 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}$，代入上式： $=(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})(\mathbf{c}\cdot \mathbf{a})-(\mathbf{c}\cdot \mathbf{a})(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})=0$ 因为数量积恒为 0，所以该复合向量与 $\mathbf{c}$ 总是垂直的。命题断言“不与 $\mathbf{c}$ 垂直”，表述错误。 因此，命题 ③ 为假命题。

④ 命题分析： 利用平面向量数量积的分配律展开左边： $(3\mathbf{a}+2\mathbf{b})\cdot (3\mathbf{a}-2\mathbf{b})=3\mathbf{a}\cdot 3\mathbf{a}-3\mathbf{a}\cdot 2\mathbf{b}+2\mathbf{b}\cdot 3\mathbf{a}-2\mathbf{b}\cdot 2\mathbf{b}$ $=9(\mathbf{a}\cdot \mathbf{a})-6(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})+6(\mathbf{b}\cdot \mathbf{a})-4(\mathbf{b}\cdot \mathbf{b})$ 由于 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$ 且 $\mathbf{x}\cdot \mathbf{x}=|\mathbf{x}{|}^2$： $=9|\mathbf{a}{|}^2-4|\mathbf{b}{|}^2$ 左边等于右边，恒成立。 因此，命题 ④ 为真命题。

综上所述，真命题有 ② 和 ④。

答案： D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律（即 $(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})\mathbf{c}\ne \mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})$）；向量垂直的代数充要条件 $\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}=0$。
2. 核心方法：数量积性质代数推演。
3. 避坑指南：

• 数量积结合律陷阱：命题 ① 利用了部分学生将数量积与普通实数乘法混淆的心理。必须牢记 $(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$ 是一个与 $\mathbf{c}$ 共线的向量，其方向由 $\mathbf{c}$ 决定。
• 垂直判定方向陷阱：在命题 ③ 中，展开后算出的结果为 0 意味着“垂直”，而题目文字表述是“不与 $\mathbf{c}$ 垂直”，在判定真假命题时容易因审题不仔细导致逻辑反转。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查平面向量基本运算性质的严谨性，属于经典的向量概念辨析题，直接取材于高中数学教材中“平面向量的数量积”章节的课后巩固与思考练习题。
2. 结论推广：本题通过几个命题的正误辨析，梳理了平面向量数量积的核心性质：数量积的交换律、数乘结合律、分配律均成立，但向量的乘法运算没有消去律与结合律——由 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$ 不能推出 $\mathbf{b}=\mathbf{c}$，也不能由 $\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}$ 的结果反推 $\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{c}$ 本身。这类辨析题的关键，是牢记「数量积结果是一个数，而非向量」，据此逐一验证命题是否恒成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比
• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值