2000-新课标理-01 单-映射的概念

本题导读

本题考查映射的概念，以及象与原象的对应关系。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 设集合 $A$ 和 $B$ 都是坐标平面上的点集 $\{(x,y)\mid x\in \mathbf{R},y\in \mathbf{R}\}$，映射 $f:A\to B$ 把集合 $A$ 中的元素 $(x,y)$ 映射成集合 $B$ 中的元素 $(x+y,x-y)$，则在映射 $f$ 下，象 $(2,1)$ 的原象是()

A. $(3,1)$　　　　B. $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$　　　　C. $\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right)$　　　　D. $(1,3)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设原象为 $(x,y)$，由映射 $f$ 的对应法则写出象的坐标表达式。
2. 令象 $(x+y,x-y)=(2,1)$，联立方程解出 $x,y$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设原象为 $(x,y)$。由映射 $f:(x,y)\mapsto (x+y,x-y)$，其象为 $(x+y,x-y)$。 令 $(x+y,x-y)=(2,1)$，得方程组 $\{\begin{array}{l}x+y=2,\\ x-y=1.\end{array}$ 两式相加得 $2x=3$，故 $x=\frac{3}{2}$；代入 $x+y=2$ 得 $y=\frac{1}{2}$。 所以原象为 $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：映射 $f:A\to B$ 中象与原象的对应关系。 核心方法：设原象、按对应法则列方程、解方程组。 避坑指南：注意”原象→象”的方向是 $x\to (x+y,x-y)$，求解时是”由象反求原象”，即令 $(x+y,x-y)$ 等于已知象坐标，不要方向搞反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：映射是函数概念的推广，本题直接考查”由象求原象”，属于集合与函数交汇的基础题。
2. 结论推广：一般地，若 $f$ 是双射，则每个象有唯一原象；“由象求原象”的本质是解对应法则给出的方程（组）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2000-大纲理-01 单-映射象与原象
• 1999-广东-02 单-映射的象集合元素个数