2000-广东卷理-18 解-等比数列的基本量计算

本题导读

本题考查等比数列基本量的求解以及特殊复杂综合数列的求和。第一问通过代入特殊值建立方程组求出首项与公比；第二问利用“错位相减法”的变形技巧，处理形如等差乘等比结构的多项组合求和问题。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷）设 ${a_{n}}$ 为等比数列， $T_{n} = n a_{1} + (n - 1) a_{2} + \dots + 2 a_{n - 1} + a_{n}$ ，已知 $T_{1} = 1$ ， $T_{2} = 4$ .

(1) 求数列 ${a_{n}}$ 的首项和公比；

(2) 求数列 ${T_{n}}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：根据给出的定义式，分别写出 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 的具体代数展开式。代入 $T_{1} = 1, T_{2} = 4$ ，联立关于 $a_{1}$ 和公比 $q$ 的方程组求解。

第二问：将已知的 $a_{1}$ 和 $q$ 代入 $T_{n}$ 。 $T_{n} = n \cdot 2^{0} + (n - 1) \cdot 2^{1} + (n - 2) \cdot 2^{2} + \dots + 1 \cdot 2^{n - 1}$ 这是一种典型的“等差 $\times$ 等比”复合求和结构。两边同乘以公比 $2$ ，错位相减，转化为等比数列求和公式进行化简。

✅【答案】

Success

(1) 首项 $a_{1} = 1$ ，公比 $q = 2$

(2) $T_{n} = 2^{n + 1} - n - 2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求数列 ${a_{n}}$ 的首项和公比： 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ 。由题意，根据 $T_{n} = n a_{1} + (n - 1) a_{2} + \dots + 2 a_{n - 1} + a_{n}$ 可得： $T_{1} = 1 \cdot a_{1} = a_{1}$ $T_{2} = 2 a_{1} + 1 \cdot a_{2} = 2 a_{1} + a_{2}$

已知 $T_{1} = 1$ ， $T_{2} = 4$ ，代入上式得方程组： ${a_{1} = 1 2 a_{1} + a_{2} = 4$ 将 $a_{1} = 1$ 代入第二式，解得 $a_{2} = 2$ 。由于 ${a_{n}}$ 是等比数列，所以公比为： $q = \frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{2}{1} = 2$ 故数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，公比 $q = 2$ 。它的通项公式为 $a_{n} = 2^{n - 1}$ 。

(2) 求数列 ${T_{n}}$ 的通项公式： 将 $a_{k} = 2^{k - 1}$ 代入 $T_{n}$ 的表达式中： $T_{n} = n \cdot 1 + (n - 1) \cdot 2 + (n - 2) \cdot 2^{2} + \dots + 2 \cdot 2^{n - 2} + 1 \cdot 2^{n - 1} (1)$

两边同时乘以公比 $2$ ，得： $2 T_{n} = n \cdot 2 + (n - 1) \cdot 2^{2} + (n - 2) \cdot 2^{3} + \dots + 2 \cdot 2^{n - 1} + 1 \cdot 2^{n} (2)$

利用错位相减法，用方程 ② 减去方程 ①： $2 T_{n} - T_{n} = - n \cdot 1 + [n - (n - 1)] \cdot 2 + [(n - 1) - (n - 2)] \cdot 2^{2} + \dots + [2 - 1] \cdot 2^{n - 1} + 1 \cdot 2^{n}$ $T_{n} = - n + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n - 1} + 2^{n}$

将右侧从 $2^{1}$ 到 $2^{n}$ 的部分看作首项为 $2$ 、公比为 $2$ 、项数为 $n$ 的等比数列求和： $T_{n} = - n + \frac{2 ( 1 - 2 ^{n} )}{1 - 2}$ $T_{n} = - n + \frac{2 - 2 ^{n + 1}}{- 1}$ $T_{n} = - n + (2^{n + 1} - 2)$ $T_{n} = 2^{n + 1} - n - 2$

经检验，当 $n = 1$ 时， $T_{1} = 2^{2} - 1 - 2 = 1$ ；当 $n = 2$ 时， $T_{2} = 2^{3} - 2 - 2 = 4$ ，均符合题意。故数列 ${T_{n}}$ 的通项公式为 $T_{n} = 2^{n + 1} - n - 2$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列基本量方程组思想；“等差 $\times$ 等比”混合型数列的求和。

核心方法：错位相减法。核心流程为：①列出原式；②两边同乘公比；③错位相减消去等差项。

避坑指南：

错位相减后，注意最后一项的符号。本题中我们是用 ② 减去 ①，且由于系数的变化规律，中间部分全部变成了正的 $2^{k}$ ，而原式 ① 中的第一项 $n \cdot 1$ 前面没有对应的项相减，所以在减法中变成了 $- n$ 。

准确清点等比数列求和公式中的项数。从 $2^{1}$ 到 $2^{n}$ 共有 $n$ 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于对经典“等差乘等比”求和题型（如求 $S_{n} = \sum k q^{k}$ ）在形式上的创新包装，将正序改为了倒序系数组合。

结论推广：对于形如 $T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (n - k + 1) q^{k - 1}$ 的反向权重求和式，当公比 $q \neq = 1$ 时，其错位相减后的通项均可归纳为： $T_{n} = \frac{q ^{n + 1} - ( n + 1 ) q + n}{( q - 1 ) ^{2}}$ 。代入 $q = 2$ 即可直接验证本题结果。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

2005-湖北卷文-19 解-等差等比与错位求和

2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差

2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项

∑ ( Math )

Explorer

2000-广东卷理-18 解-等比数列的基本量计算

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks