2000-广东卷理-03 单-长方体的几何性质

本题导读

本题考查长方体基本几何量的计算。解题核心在于将“共一顶点的三个面的面积”转化为长方体长、宽、高的两两乘积，通过解代数方程组求出三条棱长的平方和，最后套用长方体体对角线公式即可求解。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$，这个长方体对角线的长是()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　　　B. $3\sqrt{2}$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $\sqrt{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设长方体共一顶点的三条棱长分别为 $a,b,c$。
2. 根据题意列出关于面积的方程组：$ab=\sqrt{2},bc=\sqrt{3},ca=\sqrt{6}$。
3. 将三个方程相乘求出 $(abc{)}^2$，进而求出 $abc$。然后分别除以单个面积，求出 $c,a,b$ 的值，从而算出 $a^2,b^2,c^2$。
4. 或者直接两两相乘除以第三个，如 $\frac{(ab)(ca)}{bc}=a^2$ 快速求出各棱长的平方。
5. 代入体对角线公式 $l=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ 求得最终结果。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设长方体交于同一顶点的三条棱长分别为 $a,b,c$。 由题意，这三个相邻面的面积分别为： $ab=\sqrt{2}\text{(1)}$ $bc=\sqrt{3}\text{(2)}$ $ca=\sqrt{6}\text{(3)}$

我们要求的是长方体对角线的长 $l$，其公式为 $l=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。因此需要求出 $a^2,b^2,c^2$。

将三个等式巧妙组合：

• 求 $a^2$：用 $\text{(1)}\times \text{(3)}÷\text{(2)}$ $a^2=\frac{ab\cdot ca}{bc}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2$
• 求 $b^2$：用 $\text{(1)}\times \text{(2)}÷\text{(3)}$ $b^2=\frac{ab\cdot bc}{ca}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=1$
• 求 $c^2$：用 $\text{(2)}\times \text{(3)}÷\text{(1)}$ $c^2=\frac{bc\cdot ca}{ab}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3$

将 $a^2,b^2,c^2$ 代入对角线长公式： $l=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{2+1+3}=\sqrt{6}$

正确选项为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：长方体面积与棱长的代数关系；长方体对角线公式 $l^2=a^2+b^2+c^2$。
2. 核心方法：方程组的“两积除一”技巧（求平方）。直接求 $a,b,c$ 会引入双重根号（如 $a=\sqrt{2}$），容易增大计算量和出错率，直接求平方是最高效的。
3. 避坑指南：切勿将“对角线”误解为某个面的面对角线。立体几何中默认“长方体对角线”指的是穿过内部的体对角线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为立体几何极经典的代数化计算入门题，常被作为教材例题。
2. 结论推广：若长方体共顶点的三个面面积为 $S_1,S_2,S_3$，则其体对角线长为 $l=\sqrt{\frac{S_1{S}_2}{S_3}+\frac{S_2{S}_3}{S_1}+\frac{S_3{S}_1}{S_2}}$；其体积为 $V=\sqrt{S_1{S}_2{S}_3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1953-全国-08 解-长方体对角线
• 1958-江苏-04 解-长方体三度和与全面积
• 1960-全国-02 解-圆柱内接长方体