2000-大纲理-15 填-数列递推求通项

本题导读

本题考查数列的递推公式，以及累乘法。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(理)） 设 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$ 的正项数列，且 $(n+1)a_{n+1}^2-n{a}_n^2+a_{n+1}{a}_n=0(n=1,2,3,\cdots )$，则它的通项公式是 $a_n=\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正项数列可安全”除以 $a_n^2$“，令 $r_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 化为二次方程，取正根后累乘。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{n}$

✍【详细解析】

Abstract

因为数列各项为正，令 $r_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}>0$. 将递推关系除以 $a_n^2$，得 $(n+1)r_n^2+r_n-n=0$. 这个关于 $r_n$ 的方程判别式为 $1+4n(n+1)=(2n+1{)}^2$，所以 $r_n=\frac{-1+(2n+1)}{2(n+1)}=\frac{n}{n+1}$（另一根为负数，不符合 $r_n>0$）. 于是 $a_{n+1}=\frac{n}{n+1}{a}_n$. 由 $a_1=1$ 逐项相乘，得到 $a_n=a_1\prod _{k=1}^{n-1}\frac{k}{k+1}=\frac{1}{n}$. 故通项公式为 $a_n=\frac{1}{n}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列递推关系与累乘法

核心方法：同除首项平方+换元解二次方程

避坑指南：除以 $a_n^2$ 的前提是各项为正（题设”正项数列”）；二次方程有两个根，必须舍去负根

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：由递推关系求通项是数列板块的核心能力题.

2. 结论推广：形如 $(n+1)a_{n+1}^2-n{a}_n^2+a_{n+1}{a}_n=0$ 的齐次递推：同除 $a_n^2$ 化为 $r_n$ 的二次方程，取正根累乘.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-15 填-递推数列的通项公式
• 2003-大纲文-19 解-数列递推求通项