2000-大纲理-14 填-椭圆焦点角取值范围

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及向量数量积。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(理)） 椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 的焦点 $F_1$，$F_2$，点 $P$ 为其上的动点，当 $\angle F_{1}P{F}_2$ 为钝角时，点 $P$ 横坐标的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 钝角 $⟺\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}<0$，代入椭圆方程化为 $x^2$ 的不等式。

✅【答案】

Success

$-\frac{3}{\sqrt{5}}<x<\frac{3}{\sqrt{5}}$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆的长半轴为 $3$，短半轴为 $2$，所以 $c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，可设 $F_1=(-\sqrt{5},0)$，$F_2=(\sqrt{5},0)$，$P=(x,y)$. 角 $\angle F_{1}P{F}_2$ 为钝角，当且仅当 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}<0$. 而 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=(-\sqrt{5}-x)(\sqrt{5}-x)+y^2=x^2+y^2-5$，因此钝角条件为 $x^2+y^2<5$. 由椭圆方程得 $y^2=4-\frac{4}{9}{x}^2$，代入可得 $4+\frac{5}{9}{x}^2<5$，即 $x^2<\frac{9}{5}$. 所以点 $P$ 的横坐标范围为 $-\frac{3}{\sqrt{5}}<x<\frac{3}{\sqrt{5}}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程与向量数量积

核心方法：几何条件向量代数化

避坑指南：钝角对应数量积 $<0$；$-\frac{3}{\sqrt{5}}=-\frac{3\sqrt{5}}{5}$，两种写法等价

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：圆锥曲线与向量数量积结合求取值范围，是解析几何的典型交汇题.

2. 结论推广：顶角为钝角/直角/锐角 $⟺$ 数量积 $<0$/$=0$/$>0$，再代入曲线方程求坐标范围.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-14 填-椭圆焦点张角为钝角