2000-大纲理-09 单-圆柱全面积比

本题导读

本题考查圆柱的侧面积与全面积。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(理)） 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是()

A. $\rho =2\cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)$ B. $\rho =2\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)$ C. $\rho =2\cos (\theta -1)$ D. $\rho =2\sin (\theta -1)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由侧面展开是正方形得 $h=2\pi r$，代入全面积与侧面积公式求比。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设圆柱的底面半径为 $r$，高为 $h$. 侧面展开图是正方形，所以 $h=2\pi r$. 因此侧面积为 $2\pi rh=4{\pi }^2{r}^2$，两个底面的面积为 $2\pi r^2$. 全面积与侧面积的比为 $\frac{4{\pi }^2{r}^2+2\pi r^2}{4{\pi }^2{r}^2}=1+\frac{1}{2\pi }=\frac{1+2\pi }{2\pi }$. 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆柱的侧面展开图与面积公式

核心方法：设半径、由展开图列关系式

避坑指南：侧面展开正方形 $\Rightarrow$ 母线（高）$=$ 底面周长 $2\pi r$，不是 $\pi r$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：旋转体的侧面展开是立体几何基础考点.

2. 结论推广：圆柱侧面展开正方形 $⟺h=2\pi r$；此时全侧比 $=\frac{1+2\pi }{2\pi }$.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷I理-07 单-圆柱侧面展开
• 2000-大纲文-09 单-圆柱全面积与侧面积之比
• 1990-全国文-03 单-圆柱的体积与侧面积