2000-大纲文-19 解-平行六面体的线面垂直

本题导读

本题考查平行六面体的性质与线面垂直。核心在于利用菱形底面与相等的角证明线线垂直、线面垂直。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(文)） 如图，已知平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的底面 $ABCD$ 为菱形，且 $\angle C_{1}CB=\angle C_{1}CD=\angle BCD$．

(1) 证明：$C_{1}C\perp BD$；

(2) 当 $\frac{CD}{C{C}_1}$ 的值为多少时，能使 $A_{1}C\perp$ 平面 $C_{1}BD$？请给出证明．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\angle C_{1}CB=\angle C_{1}CD$ 得 $C_1$ 在底面射影落在 $\angle BCD$ 的角平分线上。
2. 菱形对角线 $BD$ 垂直平分 $AC$，从而 $C_{1}C\perp BD$。
3. 讨论 $\frac{CD}{C{C}_1}$ 使 $A_{1}C$ 与平面 $C_{1}BD$ 的两条交线垂直。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析；(2) $\frac{CD}{C{C}_1}=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $C_1$ 在底面 $ABCD$ 上的射影为 $O$，连接 $CO$．由 $\angle C_{1}CB=\angle C_{1}CD$，且 $C_{1}C$ 为公共斜边，得 $△C_{1}CB$ 与 $△C_{1}CD$ 全等，故 $CB=CD$ 方向上的射影相等，即 $O$ 到 $CB$、$CD$ 的距离相等，所以 $O$ 在 $\angle BCD$ 的角平分线上．又底面 $ABCD$ 为菱形，$\angle BCD$ 的角平分线就是对角线 $AC$，故 $O$ 在 $AC$ 上．菱形对角线互相垂直平分，$AC\perp BD$，于是 $C_{1}C$ 在底面的射影 $CO\subset AC$ 垂直于 $BD$．由三垂线定理，$C_{1}C\perp BD$． (2) 当 $\frac{CD}{C{C}_1}=1$，即 $C{C}_1=CD$ 时，由 $\angle C_{1}CB=\angle C_{1}CD=\angle BCD$，结合 $BC=CD=C{C}_1$，得 $△C_{1}CB$ 与 $△C_{1}CD$ 均为全等的等腰三角形，此时可证 $A_{1}C$ 同时垂直于平面 $C_{1}BD$ 内的两条相交直线 $C_{1}B$ 与 $C_{1}D$（$A_{1}C$ 在各面上的投影分别垂直，由三垂线定理）。故 $\frac{CD}{C{C}_1}=1$ 时，$A_{1}C\perp$ 平面 $C_{1}BD$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平行六面体的线面垂直

核心方法：(1) 设 $C{C}_1$ 与底面交于 $O$，由 $\angle C_{1}CB=\angle C_{1}CD$ 得 $O$ 在 $\angle BCD$ 平分线上，又菱形对角线 $BD$ 垂直平分 $AC$，故 $C_{1}C\perp BD$；；(2) 当 $\frac{CD}{C{C}_1}=1$ 时 $C_{1}C=CD=BC$，三棱锥为正，$A_{1}C\perp$ 平面 $C_{1}BD$

避坑指南：射影落在角平分线 + 正三棱锥判定

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材线面垂直的判定

结论推广：一般地，线面垂直可由三棱锥对称判定

方法推广：射影落在角平分线

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2001-上海文-14 单-平行六面体向量分解
• 2003-上海文-18 解-平行六面体体积
• 2004-浙江文-19 解-空间线面垂直

专题合集 (Series)