2000-大纲文-14 填-椭圆焦点张角为钝角

本题导读

本题考查椭圆的焦点三角形，以及焦点张角为钝角时横坐标的范围。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(文)） 椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 的焦点为 $F_1$、$F_2$，点 $P$ 为其上的动点，当 $\angle F_{1}P{F}_2$ 为钝角时，点 $P$ 横坐标的取值范围是　　　．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 焦点 $(\pm \sqrt{5},0)$。
2. $\angle F_{1}P{F}_2$ 钝角等价于 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}<0$。
3. 联立椭圆方程求 $x$ 范围。

✅【答案】

Success

$\left(-\frac{3}{\sqrt{5}},\frac{3}{\sqrt{5}}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

由椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 得 $a^2=9$，$b^2=4$，$c^2=a^2-b^2=5$，故焦点为 $F_1(-\sqrt{5},0)$、$F_2(\sqrt{5},0)$．设 $P(x,y)$，则 $\overrightarrow{P{F}_1}=(-\sqrt{5}-x,-y)$，$\overrightarrow{P{F}_2}=(\sqrt{5}-x,-y)$．$\angle F_{1}P{F}_2$ 为钝角等价于 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=(-\sqrt{5}-x)(\sqrt{5}-x)+(-y)(-y)=x^2-5+y^2<0$，即 $x^2+y^2<5$． 由椭圆方程 $y^2=4-\frac{4}{9}{x}^2$，代入得 $x^2+4-\frac{4}{9}{x}^2<5$，即 $\frac{5}{9}{x}^2<1$，解得 $x^2<\frac{9}{5}$，即 $-\frac{3}{\sqrt{5}}<x<\frac{3}{\sqrt{5}}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆焦点张角为钝角

核心方法：椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，焦点 $(\pm \sqrt{5},0)$，$\angle F_{1}P{F}_2$ 钝角 $⟺\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}<0⟺x^2+y^2<5$，代入 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 得 $x^2<\frac{9}{5}$，故 $-\frac{3}{\sqrt{5}}<x<\frac{3}{\sqrt{5}}$

避坑指南：焦点张角钝角化为向量内积为负

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材椭圆的焦点三角形

结论推广：一般地，张角钝角化为内积为负

方法推广：向量内积为负定范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2001-上海文-18 解-椭圆直角焦点三角形
• 2004-湖南文-15 填-椭圆焦点垂直

专题合集 (Series)