2000-上海卷理-21 解-等腰三角形的几何性质

本题导读

本题为 2000 年上海理科卷的压轴大题。题目将几何中的等腰三角形、代数中的指数型函数以及数列结合在一起，综合考查多维代数推导与严谨的单调性分析。第一问由等腰三角形对称性锁定顶点的横坐标，进而求出纵坐标通项；第二问利用三角形三边关系建立不等式，并通过指数单调性分离出参数范围；第三问通过构造项的比值，利用单调性临界点精确锁定数列最大项的项数。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)）在 $x O y$ 平面有一点列 $P_{1} (a_{1}, b_{1}), P_{2} (a_{2}, b_{2}), \dots, P_{n} (a_{n}, b_{n}), \dots$ ，对每个自然数 $n$ ，点 $P_{n}$ 位于函数 $y = 2000 \cdot (\frac{a}{10})^{x} (0 < a < 10)$ 的图象上，且点 $P_{n}$ ，点 $(n, 0)$ 与点 $(n + 1, 0)$ 构成一个以 $P_{n}$ 为顶点的等腰三角形.

(1) 求点 $P_{n}$ 的纵坐标 $b_{n}$ 的表达式；

(2) 若对每个自然数 $n$ ，以 $b_{n}, b_{n + 1}, b_{n + 2}$ 为边长能构成一个三角形，求 $a$ 取值范围；

(3) 设 $B_{n} = b_{1} b_{2} \dots b_{n} (n \in N)$ ，若 $a$ 取 (2) 中确定的范围内的最小整数，求数列 ${B_{n}}$ 的最大项的项数. 注：题干函数中指数位置印刷略有模糊，经核实确为以 $\frac{a}{10}$ 为底数的指数函数 $y = 2000 \cdot (\frac{a}{10})^{x}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

第一问（求解 $b_{n}$ ）：

以 $P_{n}$ 为顶点的等腰三角形，底边落在 $x$ 轴上，两端点为 $A (n, 0)$ 和 $B (n + 1, 0)$ 。

根据等腰三角形三线合一性质，顶点 $P_{n}$ 的横坐标 $a_{n}$ 必然等于底边中点的横坐标，即 $a_{n} = \frac{n + ( n + 1 )}{2} = n + \frac{1}{2}$ 。

将 $a_{n}$ 作为自变量 $x$ 代入函数解析式，即可直接得到纵坐标 $b_{n}$ 的通项公式。

第二问（求解 $a$ 的范围）：

设底数 $q = \frac{a}{10}$ 。因为 $0 < a < 10$ ，所以 $0 < q < 1$ 。

函数 $y = 2000 \cdot q^{x}$ 是一个严格单调递减函数。因此对于任意自然数 $n$ ，对应的纵坐标满足单调递减关系： $b_{n} > b_{n + 1} > b_{n + 2} > 0$ 。

要使这三条线段能构成三角形，根据“两边之和大于第三边”，只需满足最小的两条边之和大于最大边，即 $b_{n + 1} + b_{n + 2} > b_{n}$ 。

将 $b_{n}$ 的表达式代入该不等式，消去公共常数项后，转化为关于 $q$ 的一元二次不等式进行求解，进而得到 $a$ 的范围。

第三问（求解 ${B_{n}}$ 最大项位置）：

根据第二问求得的 $a$ 的范围，找出其中的最小整数值。

构造相邻两项的比值 $\frac{B _{n + 1}}{B _{n}}$ 。由定义可知 $\frac{B _{n + 1}}{B _{n}} = b_{n + 1}$ 。

当 $b_{n + 1} > 1$ 时，数列单调递增（ $B_{n + 1} > B_{n}$ ）；当 $b_{n + 1} < 1$ 时，数列单调递减（ $B_{n + 1} < B_{n}$ ）。

解不等式 $b_{n + 1} \geq 1$ ，确定使数列保持增长的最大自变量 $n$ 的边界值，从而锁定最大项。

✅【答案】

Success

(1) $b_{n} = 2000 (\frac{a}{10})^{n + \frac{1}{2}}$

(2) $a$ 的取值范围为 $(55 - 5, 10)$

(3) 数列 ${B_{n}}$ 最大项的项数为 20

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求点 $P_{n}$ 的纵坐标 $b_{n}$ 的表达式： 设在 $x$ 轴上的两点分别为 $A_{n} (n, 0)$ 和 $B_{n} (n + 1, 0)$ 。根据题意， $△ P_{n} A_{n} B_{n}$ 是一个以 $P_{n}$ 为顶点的等腰三角形，即 $∣ P_{n} A_{n} ∣ = ∣ P_{n} B_{n} ∣$ 。依据等腰三角形的几何性质，顶点 $P_{n}$ 在 $x$ 轴上的投影恰好为线段 $A_{n} B_{n}$ 的中点。因此，点 $P_{n}$ 的横坐标 $a_{n}$ 为： $a_{n} = \frac{n + ( n + 1 )}{2} = n + \frac{1}{2}$

因为点 $P_{n} (a_{n}, b_{n})$ 位于函数 $y = 2000 \cdot (\frac{a}{10})^{x}$ 的图象上，将横坐标 $a_{n}$ 代入方程，求得纵坐标 $b_{n}$ 为： $b_{n} = 2000 \cdot (\frac{a}{10})^{n + \frac{1}{2}}$

(2) 求以 $b_{n}, b_{n + 1}, b_{n + 2}$ 为边长能构成一个三角形时 $a$ 的取值范围： 为了书写简便，令 $q = \frac{a}{10}$ 。因为 $0 < a < 10$ ，所以 $0 < q < 1$ 。由此可知，数列 $b_{n} = 2000 \cdot q^{n + \frac{1}{2}}$ 是一个正项且严格单调递减的几何级数（等比数列）。即对任意自然数 $n$ ，恒有： $b_{n} > b_{n + 1} > b_{n + 2} > 0$

三条线段能构成三角形的充要条件是任意两边之和大于第三边。在此处，由于大小顺序已完全确定，只需验证满足“最小的两边之和大于最大边”即可，即： $b_{n + 1} + b_{n + 2} > b_{n} 恒成立$

将通项公式代入上述不等式中： $2000 \cdot q^{(n + 1) + \frac{1}{2}} + 2000 \cdot q^{(n + 2) + \frac{1}{2}} > 2000 \cdot q^{n + \frac{1}{2}}$ $2000 \cdot q^{n + \frac{3}{2}} + 2000 \cdot q^{n + \frac{5}{2}} > 2000 \cdot q^{n + \frac{1}{2}}$

两边同时除以恒正的各项公共因子 $2000 \cdot q^{n + \frac{1}{2}}$ ： $q + q^{2} > 1 ⟹ q^{2} + q - 1 > 0$

解该一元二次不等式，对应方程 $q^{2} + q - 1 = 0$ 的两根为： $q = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \times 1 \times ( - 1 )}{2} = \frac{- 1 \pm 5}{2}$

因为因式积大于 0，取两根之外： $q > \frac{5 - 1}{2} 或 q < \frac{- 5 - 1}{2}$

结合前提限制条件 $0 < q < 1$ ，取交集得到 $q$ 的取值范围为： $\frac{5 - 1}{2} < q < 1$

将 $q = \frac{a}{10}$ 代入上式中： $\frac{5 - 1}{2} < \frac{a}{10} < 1 ⟹ 5 (5 - 1) < a < 10$

所以，实数 $a$ 的取值范围为 $(55 - 5, 10)$ 。

(3) 求数列 ${B_{n}}$ 的最大项的项数： 首先确定参数 $a$ 的具体数值。因为 $5 \approx 2.236$ ，所以下界为： $55 - 5 \approx 5 \times 2.236 - 5 = 11.18 - 5 = 6.18$ 在区间 $(6.18, 10)$ 内，最小的整数 $a$ 为： $a = 7$

此时，数列 $b_{n}$ 对应的具体解析式为： $b_{n} = 2000 \cdot (\frac{7}{10})^{n + \frac{1}{2}}$

为了寻找积数列 $B_{n} = b_{1} b_{2} \dots b_{n}$ 的最大项，我们分析相邻两项的比值变化情况： $\frac{B _{n + 1}}{B _{n}} = \frac{b _{1} b _{2} \dots b _{n} b _{n + 1}}{b _{1} b _{2} \dots b _{n}} = b_{n + 1}$

若 $\frac{B _{n + 1}}{B _{n}} > 1 ⟹ b_{n + 1} > 1$ ，则说明 $B_{n + 1} > B_{n}$ ，数列在该阶段单调递增；

若 $\frac{B _{n + 1}}{B _{n}} < 1 ⟹ b_{n + 1} < 1$ ，则说明 $B_{n + 1} < B_{n}$ ，数列在该阶段单调递减。

我们解不等式 $b_{n + 1} \geq 1$ ，寻找单调性的转折临界点： $2000 \cdot (\frac{7}{10})^{(n + 1) + \frac{1}{2}} \geq 1 ⟹ 2000 \cdot (0.7)^{n + \frac{3}{2}} \geq 1$ $(0.7)^{n + \frac{3}{2}} \geq \frac{1}{2000} = 0.0005$

两边取常用对数 $l g$ （注意底数 $0.7 < 1$ ，取对数后需改变不等号方向）： $(n + \frac{3}{2}) \cdot l g 0.7 \geq l g 0.0005$

已知常用对数近似估算值：

$l g 0.7 = l g 7 - l g 10 \approx 0.8451 - 1 = - 0.1549$

$l g 0.0005 = l g 5 - l g 10000 = l g (\frac{10}{2}) - 4 = 1 - l g 2 - 4 = - 3 - 0.3010 = - 3.3010$

代入数值并变换符号（两边同除以负数 $- 0.1549$ ）： $n + 1.5 \leq \frac{- 3.3010}{- 0.1549} \approx 21.31$ $n \leq 21.31 - 1.5 = 19.81$

因为 $n$ 必须为正整数，所以：

当 $n \leq 19$ 时（即 $n = 1, 2, \dots, 19$ ），有 $b_{n + 1} > 1 ⟹ B_{n + 1} > B_{n}$ 。此时数列呈现递增趋势： $B_{1} < B_{2} < \dots < B_{19} < B_{20}$ 。

当 $n \geq 20$ 时（即 $n = 20, 21, \dots$ ），有 $b_{n + 1} < 1 ⟹ B_{n + 1} < B_{n}$ 。此时数列呈现递减趋势： $B_{20} > B_{21} > B_{22} > \dots$ 。

综上单调性分析，数列 ${B_{n}}$ 先单调递增后单调递减，其最大项在转折点 $n = 20$ 处取得。

答：数列 ${B_{n}}$ 最大项的项数为 20。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等腰三角形底边中线充要投影坐标；利用两边之和大于第三边解决含参几何递减级数问题；积数列通过相邻项比值（商值法）判定增减极值性。

核心方法：商值比较法。处理形如 $B_{n} = \prod b_{i}$ 的项积最大值问题，一律转化为分析其商 $\frac{B _{n + 1}}{B _{n}} = b_{n + 1}$ 与 1 的大小关系，这是最严谨的代数判定工具。

避坑指南：

第二问中，容易误认为要写三组不等式（ $b_{n} + b_{n + 1} > b_{n + 2}$ 等）。由于函数单调性已锁定了边长的大小次序，只需写出“小+中>大”这一组即可，写多了会极大增加无效运算量。

第三问中，求得 $n \leq 19.81$ 时，说明最后一项使数列递增的 $n$ 是 $19$ 。代入递增符号关系 $B_{19} < B_{19 + 1} = B_{20}$ ，可见最大项是 $B_{20}$ ，项数应填 20 而非 19。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题完美地展现了平面几何、代数函数与离散数列在现代高考压轴题中的高度融合性，侧重于高强度的代数化简与逻辑证明。

结论推广：对于任何正项递减等比数列级数 $b_{n} = A \cdot q^{n + α} (0 < q < 1)$ 所构成的积数列 $B_{n} = \prod_{i = 1}^{n} b_{i}$ ，其单调增减性的转折临界项数 $N$ 恒满足一阶对数有界判别式： $N = ⌊ \frac{l n ( 1/ A )}{l n q} - α ⌋ + 1$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

1987-全国文-06 单-函数的单调性判断

1987-广东文-09 单-函数的单调性

1988-全国文-04 单-指数函数的图象

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