2000-上海卷理-19 解-基本不等式

本题导读

本题考查分式函数的最值求解以及不等式恒成立问题。第一问通过拆分分式，利用基本不等式或对勾函数的单调性直接求出特定参数下的最小值；第二问属于经典的恒成立问题，核心方法是采用“参数分离法”，将问题转化为求已知函数在给定区间上的下界（最小值或下确界）。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{x^2+2x+a}{x},x\in [1,+\infty )$.

(1) 当 $a=\frac{1}{2}$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值；

(2) 若对任意 $x\in [1,+\infty )$，$f(x)>0$ 恒成立，试求实数 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简解析式：将 $f(x)$ 拆项化简为： $f(x)=x+\frac{a}{x}+2$
2. 第一问（求最小值）：代入 $a=\frac{1}{2}$ 得 $f(x)=x+\frac{1}{2x}+2$。由于 $x\in [1,+\infty )$，需注意对勾函数 $y=x+\frac{1}{2x}$ 的顶点（极值点）为 $x=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。由于 $\frac{\sqrt{2}}{2}<1$，该函数在 $[1,+\infty )$ 上单调递增，因此在左端点 $x=1$ 处取得最小值。
3. 第二问（恒成立问题）：

• 不等式 $f(x)>0⟺\frac{x^2+2x+a}{x}>0$。
• 因为 $x\in [1,+\infty )⟹x>0$，故不等式等价于分子 $x^2+2x+a>0$ 恒成立。
• 采用参数分离法： $a>-x^2-2x$。
• 设 $g(x)=-x^2-2x$，求出 $g(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上的最大值，则 $a$ 必须大于该最大值。

✅【答案】

Success

(1) 当 $a=\frac{1}{2}$ 时，$f(x)$ 的最小值为 $\frac{7}{2}$

(2) 实数 $a$ 的取值范围为 $a>-3$，即 $(-3,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

将原函数解析式进行拆项化简： $f(x)=\frac{x^2}{x}+\frac{2x}{x}+\frac{a}{x}=x+\frac{a}{x}+2$

(1) 当 $a=\frac{1}{2}$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值： 代入 $a=\frac{1}{2}$，函数变为： $f(x)=x+\frac{1}{2x}+2$

设 $h(x)=x+\frac{1}{2x}$，这是一个典型的对勾函数。 根据对勾函数的性质，其在第一象限的单调递减区间为 $\left(0,\sqrt{\frac{1}{2}}\right]$，单调递增区间为 $\left[\sqrt{\frac{1}{2}},+\infty \right)$。 因为 $\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707$，而函数的定义域限制为 $x\in [1,+\infty )$。 区间 $[1,+\infty )$ 完全包含在单调递增区间 $\left[\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty \right)$ 内。 因此，函数 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty )$ 上是严格单调递增的。

故当 $x=1$ 时，函数 $f(x)$ 取得极小值即最小值： $f(x{)}_{\min }=f(1)=1+\frac{1}{2\times 1}+2=3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$

(2) 若对任意 $x\in [1,+\infty )$，$f(x)>0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围： 根据题意，在 $x\in [1,+\infty )$ 条件下，有： $\frac{x^2+2x+a}{x}>0$

因为 $x\ge 1>0$，分母始终为正数，不等式两边同乘以 $x$ 不改变符号方向，原式等价于： $x^2+2x+a>0\text{恒成立}$

利用参数分离法，将参数 $a$ 独立移至不等式左边： $a>-x^2-2x\text{恒成立}$

设 $g(x)=-x^2-2x$，由于上述不等式对任意 $x\in [1,+\infty )$ 均成立，故只需满足： $a>g(x{)}_{\max }$

分析二次函数 $g(x)=-x^2-2x$ 在区间 $[1,+\infty )$ 上的变化规律：

• 抛物线开口向下；
• 对称轴为 $x=-\frac{2}{2\times (-1)}=-1$。 因为定义域区间 $[1,+\infty )$ 处于对称轴 $x=-1$ 的右侧，由二次函数的单调性可知， $g(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上是单调递减的。

因此，当 $x=1$ 时， $g(x)$ 取得最大值： $g(x{)}_{\max }=g(1)=-1^2-2\times 1=-3$

由于要求 $a>g(x{)}_{\max }$，所以实数 $a$ 的取值范围为： $a>-3$

即用区间表示为 $(-3,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对勾函数 $y=x+\frac{k}{x}$ 拐点（极值点位置）与给定定义域区间的相对单调性分析；恒成立问题中“大于最大值”的判定。
2. 核心方法：参数分离法。处理形如 $F(x,a)>0$ 的恒成立问题，能直接分离出 $a>G(x)$ 或 $a<G(x)$ 是最优先、最不易出错的通解。
3. 避坑指南：

• 第一问中，部分学生容易盲目套用基本不等式 $x+\frac{1}{2x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{2x}}=\sqrt{2}$，得出最小值为 $\sqrt{2}+2$。这是错误的，因为基本不等式取等号的条件是 $x=\frac{1}{2x}⟹x^2=\frac{1}{2}⟹x=\frac{\sqrt{2}}{2}$，该取等点不在定义域 $[1,+\infty )$ 内。必须先判定其在区间内的单调性。
• 第二问中，由于要求是严格大于 0（$f(x)>0$），在求得最大值 $-3$ 后， $a$ 与 $-3$ 之间必须是严格大于号（$a>-3$），不能带有等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于对分段/具体分式函数最值和性质的考查，属于高考解答题中关于函数与不等式交汇的经典中档题。
2. 结论推广：对于对勾函数 $f(x)=x+\frac{k}{x}(k>0)$ 在区间 $[M,+\infty )$ 上的最值问题：

• 若 $\sqrt{k}\le M$，则 $f(x)$ 在该区间单调递增，最小值为 $f(M)$；
• 若 $\sqrt{k}>M$，则 $f(x)$ 在 $x=\sqrt{k}$ 处取得全局极小值即最小值 $2\sqrt{k}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 1985-广东理-33 解-对数函数的定义域与最值
• 1986-广东理-10 单-均值不等式求最值
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断