本题导读
本题考查椭圆标准方程的求解以及直线与椭圆相交的中点坐标问题。第一步利用已知焦点和长轴长求出椭圆的标准方程；第二步将直线方程与椭圆方程联立，利用一元二次方程的韦达定理直接求出交点弦的中点坐标。
📌【题干】
Question
（2000年上海卷(理)） 已知椭圆 的焦点分别为 和 ，长轴长为 6，设直线 交椭圆 于 、 两点，求线段 的中点坐标.
🔍【思路分析】
破题导航
- 求椭圆方程：
- 由焦点坐标在 轴上可知椭圆标准方程为 。
- 由长轴长 。
- 由半焦距 。
- 利用 算出 ，确定椭圆方程。
- 联立求解中点坐标：
- 将直线 代入椭圆方程，消去 得到关于 的一元二次方程。
- 设 ， ，中点 。
- 依据韦达定理，中点横坐标 。
- 将 代入直线方程 即可求得中点纵坐标。
✅【答案】
Success
线段 的中点坐标为
✍【详细解析】
Abstract
第一步：求椭圆 的标准方程 设椭圆 的标准方程为：
由题意可知：
- 长轴长 。
- 焦点在 轴上，且半焦距 。
根据椭圆的几何性质：
所以，椭圆 的标准方程为：
第二步：联立直线与椭圆方程求中点坐标 将直线方程 代入椭圆方程 中： 展开并整理：
判别式验证：，交点 存在。 设交点坐标为 ， ，线段 的中点为 。
根据一元二次方程的韦达定理，两根之和为：
因此，中点 的横坐标为：
由于中点 落在直线 上，将 代入直线方程求得纵坐标：
综上所述，线段 的中点坐标为 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：椭圆基本量 的关系关系；“设而不求”思想在线段中点问题中的代数应用。
- 核心方法：韦达定理法。
- 避坑指南：
- 联立方程展开时，注意 展开后的系数 9 不要漏乘常数项与一次项。
- 求得 后，务必记得除以 2 才是中点横坐标。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题为直线与圆锥曲线相交的经典入门题型，侧重于对大题前几步运算稳定性及核心解题模板的考查。
- 结论推广（点差法验证）： 设 在椭圆上，两式相减得 。 变形引入斜率 与中点 ： 联立 ，可快速解得 。该方法无需展开二次方程，适合作为复杂中点弦题目的高效通解。
🔗【关联脉络】
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