2000-上海卷理-15 单-集合的交集运算

本题导读

本题考查集合的交集运算。解题核心在于正确识别集合的代表元素，本题中的集合均是以 $y$ 为代表元素的数集，即求解各函数的值域。通过求出两个函数的值域范围，再进行交集运算并判定集合间的包含关系。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)） 若集合 $S=\{y\mid y=3^x,x\in \mathbf{R}\}$，$T=\{y\mid y=x^2-1,x\in \mathbf{R}\}$，则 $S\cap T$ 是 ()

A. $S$　　　　　　　B. $T$　　　　　　　C. $\varnothing$　　　　　　　D. 有限集

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析集合 $S$：代表元素为 $y$，对应函数 $y=3^x(x\in \mathbf{R})$。根据指数函数的图象与性质，求出其值域。
2. 分析集合 $T$：代表元素为 $y$，对应函数 $y=x^2-1(x\in \mathbf{R})$。根据二次函数的图象与性质，求出其值域。
3. 求交集：将两个值域集合表示为区间，求其公共部分，并与选项中的原集合进行比对，确定最终包含关系。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求集合 $S$ 集合 $S$ 的代表元素是 $y$，表示函数 $y=3^x(x\in \mathbf{R})$ 的值域。 根据指数函数的性质，底数 $3>1$，对任意实数 $x$， $3^x$ 恒大于 0。 所以： $S=\{y\mid y>0\}=(0,+\infty )$

第二步：求集合 $T$ 集合 $T$ 的代表元素是 $y$，表示函数 $y=x^2-1(x\in \mathbf{R})$ 的值域。 这是一个开口向上的二次函数，顶点坐标为 $(0,-1)$。 因为对任意实数 $x$，恒有 $x^2\ge 0$，所以： $y=x^2-1\ge -1$ 所以： $T=\{y\mid y\ge -1\}=[-1,+\infty )$

第三步：计算 $S\cap T$ 求数集 $S$ 和 $T$ 的交集： $S\cap T=(0,+\infty )\cap [-1,+\infty )=(0,+\infty )$

因为 $(0,+\infty )$ 恰好等于集合 $S$，所以： $S\cap T=S$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合代表元素的辨析；基本初等函数（指数函数、二次函数）值域的求解。
2. 核心方法：等价区间化简法。
3. 避坑指南：

• 极其容易将集合的代表元素看错。若题目写成 $S=\{(x,y)\mid y=3^x\}$，则代表点集（曲线本身），此时 $S\cap T$ 表示求两条曲线的交点。但本题给出的代表元素明确为 $y$，属于数集（值域），切勿混淆。
• 注意区间开闭：指数函数值域不包含 0（开区间），二次函数最值包含 $-1$（闭区间），两者交集仍为开区间 $(0,+\infty )$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为考查集合概念与函数值域工具性应用的基础整合选择题，旨在强化学生对集合表示法中“代表元素”的敏感度。
2. 结论推广：若数集 $A=(a,+\infty )$，数集 $B=[b,+\infty )$，当且仅当 $a\ge b$ 时，必有 $A\subseteq B$，此时两者的交集 $A\cap B=A$。本题中 $0>-1$，完美契合这一包含规律。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-30 填-函数的值域
• 1988-广东文-17 单-二次函数的值域
• 2006-上海春-16 单-函数值域求交集