2000-上海卷理-14 单-空间点线面的位置关系

本题导读

本题考查空间中直线与平面、平面与平面平行的判定与性质。解题核心在于掌握空间几何元素位置关系的随机性，通过构建正方体等经典直观空间几何模型，寻找反例来验证各个命题的真伪。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)） 设有不同的直线 $a$、$b$ 和不同的平面 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$，给出下列三个命题： ① 若 $a\parallel \alpha$，$b\parallel \alpha$，则 $a\parallel b$； ② 若 $a\parallel \alpha$，$a\parallel \beta$，则 $\alpha \parallel \beta$； ③ 若 $\alpha \perp \gamma$，$\beta \perp \gamma$，则 $\alpha \parallel \beta$. 其中正确的个数是 ()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题 ①：考虑两条直线同时平行于同一个平面的位置关系。这两条直线可以平行、异面或相交。
2. 分析命题 ②：考虑一个直线同时平行于两个不同的平面。这两个平面可以平行，也可以相交（交线平行于该直线）。
3. 分析命题 ③：考虑两个不同的平面同时垂直于第三个平面。这两个平面可以平行，也可以相交（交线垂直于第三个平面）。
4. 方法选择：利用正方体模型中的棱与面作为具体反例进行验证。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

借助正方体模型 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 对各个命题进行检验：

• 对于命题 ①：若 $a\parallel \alpha$，$b\parallel \alpha$，则 $a\parallel b$.

• 反例构造：设平面 $\alpha$ 为正方体的底面 $ABCD$。

• 取直线 $a$ 为棱 $A_1{B}_1$，显然 $A_1{B}_1\parallel \text{平面 }ABCD$，即 $a\parallel \alpha$。

• 取直线 $b$ 为棱 $B_1{C}_1$，显然 $B_1{C}_1\parallel \text{平面 }ABCD$，即 $b\parallel \alpha$。

• 此时，直线 $A_1{B}_1$ 与 $B_1{C}_1$ 相交于点 $B_1$，并不平行。

• 因此，命题 ① 错误。

• 对于命题 ②：若 $a\parallel \alpha$，$a\parallel \beta$，则 $\alpha \parallel \beta$.

• 反例构造：取直线 $a$ 为正方体的棱 $A_1{B}_1$。

• 设平面 $\alpha$ 为侧面 $CD{D}_1{C}_1$，显然 $A_1{B}_1\parallel \text{平面 }CD{D}_1{C}_1$。

• 设平面 $\beta$ 为底面 $ABCD$，显然 $A_1{B}_1\parallel \text{平面 }ABCD$。

• 此时，平面 $CD{D}_1{C}_1$ 与平面 $ABCD$ 互相垂直（相交），并不平行。

• 因此，命题 ② 错误。

• 对于命题 ③：若 $\alpha \perp \gamma$，$\beta \perp \gamma$，则 $\alpha \parallel \beta$.

• 反例构造：设平面 $\gamma$ 为正方体的底面 $ABCD$。
• 设平面 $\alpha$ 为侧面 $AB{B}_1{A}_1$，则 $\text{平面 }AB{B}_1{A}_1\perp \text{平面 }ABCD$，即 $\alpha \perp \gamma$。
• 设平面 $\beta$ 为侧面 $BC{C}_1{B}_1$，则 $\text{平面 }BC{C}_1{B}_1\perp \text{平面 }ABCD$，即 $\beta \perp \gamma$。
• 此时，平面 $AB{B}_1{A}_1$ 与平面 $BC{C}_1{B}_1$ 互相垂直（相交），并不平行。
• 因此，命题 ③ 错误。

综上所述，三个命题均为假命题，正确的个数为 0。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间平行与垂直的几何图景分布。
2. 核心方法：正方体反例排除法。空间几何选择题中，大部分关于线面、面面平行或垂直的定性命题都可以通过正方体的棱与面进行快速排除。
3. 避坑指南：

• 命题 ① 容易受平面几何中“平行于同一条直线的两直线平行”这一结论的影响，混淆了平面与空间的区别。
• 记住正确修正命题：
  • ① 的正确结论是：$a$ 与 $b$ 平行、相交或异面。
  • ② 的正确结论是：$\alpha \parallel \beta$ 或 $\alpha ,\beta$ 相交且交线平行于 $a$。
  • ③ 的正确结论是：$\alpha \parallel \beta$ 或 $\alpha ,\beta$ 相交且交线垂直于 $\gamma$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何大纲中对三维空间想象力进行测试的经典多针辨析选择题。
2. 结论推广：在欧几里得三维空间中，平行关系不具有跨维度的传递性（如线面平行不能传递为面面平行）。唯一具有严格传递性的是“线线平行”以及“面面平行”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-22 单-面面平行的判定
• 1987-广东理-17 单-面面平行的判定
• 1988-广东文-08 单-异面直线的性质