2000-上海卷理-11 填-极坐标系与直角坐标系的互化

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转换，以及解析几何中经典的直线与圆相交求弦长问题。解题核心在于将极坐标系下的直线和曲线方程统一转化为直角坐标方程，进而利用圆的几何性质（勾股定理）求出弦长。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)） 在极坐标系中，若过点 $(3,0)$ 且与极轴垂直的直线交曲线 $\rho =4\cos \theta$ 于 $A$，$B$ 两点，则 $|AB|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立直角坐标系：以极点 $O$ 为原点，极轴为 $x$ 轴正半轴，建立平面直角坐标系。
2. 转换直线方程：

• 极坐标点 $(3,0)$ 对应直角坐标点 $(3,0)$。
• “与极轴垂直的直线”在直角坐标系中即为垂直于 $x$ 轴的直线，方程为 $x=3$。

3. 转换曲线方程：将 $\rho =4\cos \theta$ 两边同乘以 $\rho$ 得到 ${\rho }^2=4\rho \cos \theta$。代入公式 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 和 $\rho \cos \theta =x$，化为圆的标准方程。
4. 求弦长：利用圆的半径 $R$ 和圆心到直线的距离（弦心距 $d$），通过几何勾股定理 $2\sqrt{R^2-d^2}$ 快速求出弦长 $|AB|$。

✅【答案】

Success

$2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

以极点为原点，极轴为 $x$ 轴正半轴建立平面直角坐标系，其互化公式为： $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,x^2+y^2={\rho }^2$

第一步：求直线的直角坐标方程 已知直线过极坐标点 $(3,0)$，对应的直角坐标为 $(3\cos 0,3\sin 0)=(3,0)$。 因为直线与极轴（即 $x$ 轴）垂直，所以该直线是一条垂直于 $x$ 轴的竖直线。 其直角坐标方程为： $x=3$

第二步：求曲线的直角坐标方程 已知曲线方程为： $\rho =4\cos \theta$ 两边同时乘以 $\rho$ 得： ${\rho }^2=4\rho \cos \theta$ 将 $x^2+y^2={\rho }^2$ 和 $\rho \cos \theta =x$ 代入上式，得直角坐标方程： $x^2+y^2=4x$ 移项配方化为圆的标准方程： $(x-2{)}^2+y^2=4$ 由此可知，该曲线是一个圆：

• 圆心坐标为 $C(2,0)$；
• 半径 $R=2$。

第三步：计算直线与圆相交的弦长 $|AB|$ 圆心 $C(2,0)$ 到直线 $x=3$ 的距离（弦心距 $d$）为： $d=|3-2|=1$

根据圆的弦长几何性质，半弦长、弦心距 $d$、半径 $R$ 构成直角三角形，满足： ${\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2=R^2-d^2$ 代入 $R=2,d=1$： ${\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2=2^2-1^2=4-1=3$ $\frac{|AB|}{2}=\sqrt{3}⟹|AB|=2\sqrt{3}$

答案： $2\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标与直角坐标的转换公式；圆的弦长几何公式 $|AB|=2\sqrt{R^2-d^2}$。
2. 核心方法：坐标转换法。相比于在极坐标系下直接联立方程求解 $\theta$ 和 $\rho$，将其统一化为直角坐标系利用平面几何处理更不易出错。
3. 避坑指南：

• 曲线 $\rho =4\cos \theta$ 在两边同乘 $\rho$ 时，由于极点 $\rho =0$ 本就在原方程的轨迹上（当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时 $\rho =0$），因此该等价变形没有引入增根，无需单独讨论。
• 最终求弦长时，容易漏掉前面的系数 2，错把半弦长 $\sqrt{3}$ 当作最终答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为解析几何选备工具（极坐标与参数方程）的基本交汇考题，属于高考每年必考的常规填空题型。
2. 结论推广：在极坐标系下，方程 $\rho =2R\cos \theta$ 恒表示一个过极点、圆心在 $\left(R,0\right)$ 处的圆。若一条垂直于极轴的直线 $x=d_0$ 与其相交，其交线弦长公式通用代数式可写为 $2\sqrt{R^2-(d_0-R{)}^2}$。本题中 $R=2,d_0=3$，代入直接得到 $2\sqrt{4-1}=2\sqrt{3}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 2006-陕西文-05 单-直线与圆相切