2000-上海文-22 解-复数共轭乘法变换

本题导读

本题考查复数的共轭乘法与坐标变换。核心在于展开 $\overline{z_0}\cdot \overline{z}$ 求变换关系，再解决求点与不变直线问题。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(文)） 已知复数 $z_0=1-mi$（$m>0$），$z=x+yi$ 和 $\omega =x^{\prime }+y^{\prime }i$，其中 $x$，$y$，$x^{\prime }$，$y^{\prime }$ 均为实数，$i$ 为虚数单位，且对于任意复数 $z$，有 $\omega =\overline{z_0}\cdot \overline{z}$，$|\omega |=2|z|$．

(1) 试求 $m$ 的值，并分别写出 $x^{\prime }$ 和 $y^{\prime }$ 用 $x$、$y$ 表示的关系式；

(2) 将 $(x,y)$ 作为点 $P$ 的坐标，$(x^{\prime },y^{\prime })$ 作为点 $Q$ 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点 $P$ 变到这一平面上的点 $Q$，已知点 $P$ 经该变换后得到的点 $Q$ 的坐标为 $(\sqrt{3},2)$，试求点 $P$ 的坐标；

(3) 若直线 $y=kx$ 上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求 $k$ 的值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 两边取模得 $|z_0|=2$，解 $m$；展开 $(1+\sqrt{3}i)(x-yi)$ 比较实虚部。
2. (2) 解线性方程组。
3. (3) 把 $(x,kx)$ 代入变换，要求像仍满足 $y^{\prime }=k{x}^{\prime }$，得 $k$ 的二次方程。

✅【答案】

Success

(1) $m=\sqrt{3}$，$x^{\prime }=x+\sqrt{3}y$，$y^{\prime }=\sqrt{3}x-y$；(2) $P\left(\frac{3\sqrt{3}}{4},\frac{1}{4}\right)$；(3) $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $k=-\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $\omega =\overline{z_0}\cdot \overline{z}$ 得 $|\omega |=|z_0||z|$，又 $|\omega |=2|z|$，故 $|z_0|=2$．由 $z_0=1-mi$ 得 $\sqrt{1+m^2}=2$，又 $m>0$，解得 $m=\sqrt{3}$，此时 $\overline{z_0}=1+\sqrt{3}i$，$\overline{z}=x-yi$．于是 $x^{\prime }+y^{\prime }i=(1+\sqrt{3}i)(x-yi)=x+\sqrt{3}y+(\sqrt{3}x-y)i$，由复数相等的充要条件得 $x^{\prime }=x+\sqrt{3}y$，$y^{\prime }=\sqrt{3}x-y$． (2) 由题意 $\{\begin{array}{l}x+\sqrt{3}y=\sqrt{3},\\ \sqrt{3}x-y=2,\end{array}$ 由第一式 $x=\sqrt{3}(1-y)$，代入第二式得 $3-3y-y=2$，解得 $y=\frac{1}{4}$，$x=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．故点 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{3\sqrt{3}}{4},\frac{1}{4}\right)$． (3) 设直线 $y=kx$ 上任一点 $P(x,kx)$，其像为 $Q\left((1+\sqrt{3}k)x,(\sqrt{3}-k)x\right)$．要使像点仍在该直线上，需 $(\sqrt{3}-k)x=k(1+\sqrt{3}k)x$ 对任意 $x$ 成立，即 $\sqrt{3}-k=k+\sqrt{3}{k}^2$，整理得 $\sqrt{3}{k}^2+2k-\sqrt{3}=0$，解得 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $k=-\sqrt{3}$．经检验这两个值均使变换把整条直线映到自身，故所求 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $-\sqrt{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数共轭乘法变换

核心方法：(1) $|z_0|=2\Rightarrow m=\sqrt{3}$；$x^{\prime }+y^{\prime }i=\overline{z_0}\cdot \overline{z}=(1+\sqrt{3}i)(x-yi)$，$x^{\prime }=x+\sqrt{3}y$，$y^{\prime }=\sqrt{3}x-y$；；(2) 解方程组得 $P\left(\frac{3\sqrt{3}}{4},\frac{1}{4}\right)$；；(3) $\sqrt{3}{k}^2+2k-\sqrt{3}=0$，$k=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $-\sqrt{3}$

避坑指南：共轭乘法展开；待定坐标；不变直线定 $k$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的乘法与共轭

结论推广：一般地，$\overline{z_0}\cdot \overline{z}=\overline{z_{0}z}$

方法推广：共轭乘法展开比较实虚部

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2007-上海卷文-12 单-共轭复数求参
• 2012-江西卷文-01 单-共轭复数与复数运算

专题合集 (Series)