2000-上海文-12 填-数列类比推理

本题导读

本题考查类比推理，以及等差数列与等比数列性质的对应。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(文)） 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，若 $a_{10}=0$，则有等式 $a_1+a_2+\cdots +a_n=a_1+a_2+\cdots +a_{19-n}$（$n<19$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）成立，类比上述性质，相应地：在等比数列 $\{b_n\}$ 中，若 $b_9=1$，则有等式　　　成立．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等差中下标和为 $10$ 的两项互为相反数，和式对称到 $19-n$。
2. 等比中下标和为 $9$ 的两项互为倒数，积式对称到 $17-n$。

✅【答案】

Success

$b_1{b}_2\cdots b_n=b_1{b}_2\cdots b_{17-n}$（$n<17$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）

✍【详细解析】

Abstract

等差数列中 $a_{10}=0$：当 $k+l=20$（即两项下标关于 $10$ 对称）时 $a_k+a_l=0$，于是和式中超出前 $n$ 项的部分与前 $n$ 项中对称的部分相消，得 $a_1+\cdots +a_n=a_1+\cdots +a_{19-n}$，其中 $19=2\times 10-1$． 类比到等比数列：$b_9=1$，当两项下标关于 $9$ 对称（$k+l=18$）时 $b_k{b}_l=1$，于是积式中对称的因子成对相消，得 $b_1{b}_2\cdots b_n=b_1{b}_2\cdots b_{17-n}$，其中 $17=2\times 9-1$（$n<17$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列类比推理

核心方法：等差中 $a_{10}=0$ 使和式对称到 $19-n$；等比中 $b_9=1$ 使积式对称到 $17-n$：$b_1{b}_2\cdots b_n=b_1{b}_2\cdots b_{17-n}$（$n<17$）

避坑指南：类比：和对称 $\to$ 积对称，下标 $2\times 10-1\to 2\times 9-1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材合情推理

结论推广：一般地，等差求和的对称性质可类比到等比求积

方法推广：和对称类比积对称

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 26.01 合情推理与演绎推理

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-15 填-勾股定理空间类比
• 2008-大纲Ⅱ文-16 填-平行六面体充要条件类比
• 2009-浙江卷文-16 填-类比推理

专题合集 (Series)