2000-上海文-11 填-线性规划最值点

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数最值点的确定。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(文)） 图中阴影部分的点满足不等式组 $\{\begin{array}{l}x+y\le 5,\\ 2x+y\le 6,\\ x\ge 0,y\ge 0,\end{array}$ 在这些点中，使目标函数 $k=6x+8y$ 取得最大值的点的坐标是　　　．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求可行域顶点。
2. 将顶点代入 $k=6x+8y$ 比较。

✅【答案】

Success

$(0,5)$

✍【详细解析】

Abstract

可行域是由 $x+y\le 5$、$2x+y\le 6$、$x\ge 0$、$y\ge 0$ 围成的多边形，其顶点为 $(0,0)$、$(3,0)$、$(1,4)$、$(0,5)$（$x+y=5$ 与 $2x+y=6$ 交于 $(1,4)$，$x+y=5$ 与 $y$ 轴交于 $(0,5)$）．将各顶点代入 $k=6x+8y$：$k(0,0)=0$，$k(3,0)=18$，$k(1,4)=38$，$k(0,5)=40$．故最大值在 $(0,5)$ 处取得，所求点的坐标为 $(0,5)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划最值点

核心方法：可行域顶点 $(0,0),(3,0),(0,5),(1,4)$，$k=6x+8y$ 在 $(0,5)$ 取最大 $40$

避坑指南：线性目标在顶点处取最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材线性规划

结论推广：一般地，线性目标函数在可行域顶点处取最值

方法推广：顶点代入比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-07 填-线性规划最值
• 2005-上海卷文-03 填-线性规划最值
• 2006-上海文-09 填-线性规划最值

专题合集 (Series)