1999-广东-22 解-角平分线的轨迹方程

本题导读

本题考查动点轨迹方程的求法与圆锥曲线类型的讨论。核心在于用角平分线定理建立关系，消参得轨迹方程。

📌【题干】

Question

（1999年广东卷） 如图，给出定点 $A(a,0)$（$a>0$）和直线 $l:x=-1$.$B$ 是直线 $l$ 上的动点，$\angle BOA$ 的角平分线交 $AB$ 于点 $C$.求点 $C$ 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 $a$ 值的关系.

🔍【思路分析】

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1. 设 $B(-1,t)$，由角平分线定理得 $C$ 分 $AB$ 的比。
2. 写出 $C$ 的坐标，消去 $t$ 得轨迹方程。
3. 按 $a<1$、$a=1$、$a>1$ 讨论曲线类型。

✅【答案】

Success

轨迹方程 $(1-a)x^2-2ax+(1+a)y^2=0$（$0\le x<a$）；当 $0<a<1$ 时为椭圆弧，$a=1$ 时为抛物线弧，$a>1$ 时为双曲线弧

✍【详细解析】

Abstract

先设 $B=(-1,t)$（$t\in \mathbf{R}$），记 $OB=r=\sqrt{1+t^2}$。当 $t\ne 0$ 时，在三角形 $AOB$ 中，由角平分线定理 $\frac{AC}{CB}=\frac{AO}{OB}=\frac{a}{r}$。因此点 $C$ 的坐标为内分点坐标 $C\left(\frac{r\cdot a+a\cdot (-1)}{a+r},\frac{a\cdot t}{a+r}\right)=\left(\frac{a(r-1)}{a+r},\frac{at}{a+r}\right)$。记 $C(x,y)$，则 $x=\frac{a(r-1)}{a+r}$，$y=\frac{at}{a+r}$。由于 $r>1$，可知 $0<x<a$。又 $t^2=r^2-1$，代入消去 $t$、$r$ 可得 $(1-a)x^2-2ax+(1+a)y^2=0$。当 $t=0$ 时，$B=(-1,0)$，$C=(0,0)$，仍满足该方程，故轨迹方程结合条件 $0\le x<a$。 对轨迹方程按 $a$ 讨论：当 $0<a<1$ 时，可化为 $(1-a){\left(x-\frac{a}{1-a}\right)}^2+(1+a)y^2=\frac{a^2}{1-a}$，表示椭圆弧；当 $a=1$ 时，方程化为 $y^2=x$，表示抛物线弧；当 $a>1$ 时，可化为 $(a-1){\left(x+\frac{a}{a-1}\right)}^2-(a+1)y^2=\frac{a^2}{a-1}$，表示双曲线一支的弧。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：角平分线的轨迹方程

核心方法：设 $B(-1,t)$，角平分线定理 $\frac{AC}{CB}=\frac{AO}{OB}=\frac{a}{r}$，得 $C$ 坐标，消去 $t$ 得 $(1-a)x^2-2ax+(1+a)y^2=0$（$0\le x<a$）；$a<1$ 椭圆弧、$a=1$ 抛物线弧、$a>1$ 双曲线弧

避坑指南：角平分线定理 + 消参求轨迹

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材曲线的轨迹方程

结论推广：一般地，角平分线用角平分线定理或距离相等

方法推广：角平分线定理消参

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 2001-上海文-03 填-相关点法求轨迹方程
• 2003-天津文-08 单-向量角平分线轨迹
• 2005-全国卷II文-09 单-角平分线定比分点