1999-广东-05 单-奇函数与周期的判定

本题导读

本题考查函数的奇偶性与周期性，以及通过乘法运算构造满足条件的函数。

📌【题干】

Question

（1999年广东卷） 若 $f(x)\sin x$ 是周期为 $\pi$ 的奇函数，则 $f(x)$ 可以是()

A. $\sin x$　　　　　　　B. $\cos x$　　　　　　　C. $\sin 2x$　　　　　　　D. $\cos 2x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 逐项代入检验 $f(x)\sin x$ 的奇偶性。
2. 再检验周期是否为 $\pi$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

逐项检验。若 $f(x)=\sin x$，则 $f(x)\sin x={\sin }^{2}x$ 是偶函数；若 $f(x)=\cos x$，则 $f(x)\sin x=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$，既是奇函数，周期又是 $\pi$；若 $f(x)=\sin 2x$，则 $f(x)\sin x=\sin 2x\sin x$ 是偶函数；若 $f(x)=\cos 2x$，则所得函数虽为奇函数，但 $\sin (x+\pi )\cos 2(x+\pi )=-\sin x\cos 2x$，即 $\sin x\cos 2x$ 的周期不是 $\pi$。因此选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数与周期的判定

核心方法：$f(x)=\cos x$ 时 $f(x)\sin x=\frac{1}{2}\sin 2x$ 为奇函数且周期 $\pi$，选 B

避坑指南：逐项检验奇偶性与周期

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数的奇偶性与周期性

结论推广：一般地，$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$

方法推广：逐项检验

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-上海文-16 单-奇函数图象变换
• 2005-天津卷文-10 单-周期函数对称性比较
• 2006-广东卷-03 单-奇函数减函数判定