1999-全国卷理-16 填-受限间隔的选垄计数

本题导读

本题考查排列组合，以及间隔问题的分类讨论。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 在一块并排 10 垄的田地中，选择 2 垄分别种植 $A$、$B$ 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求 $A$、$B$ 两种作物的间隔不小于 6 垄，则不同的选垄方法共有$\underline{}$种.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解“间隔”概念：将 10 垄田地从左到右编号为 1 到 10。设种植作物的位置分别为 $x,y$（其中 $x<y$），“间隔不小于 6 垄”意味着在位置 $x$ 和 $y$ 之间至少有 6 个空位，即 $y-x-1\ge 6⟹y-x\ge 7$。
2. 分类列举组合数：寻找满足 $y-x\ge 7$ 的有序对 $(x,y)$：

• 若 $y-x=7$（间隔恰好 6 垄）：即选法组合为 (1, 8), (2, 9), (3, 10)，共 3 种。
• 若 $y-x=8$（间隔恰好 7 垄）：即选法组合为 (1, 9), (2, 10)，共 2 种。
• 若 $y-x=9$（间隔恰好 8 垄）：即选法组合为 (1, 10)，共 1 种。 以上共挑出了 $3+2+1=6$ 种满足条件的位置组合。

3. 引入排列顺序：题目要求在选出的 2 垄上分别种植 A 和 B 两种作物，这是一个排列问题。在确定的两个位置上种 A、B 有 $A_2^2=2$ 种排法。将组合数乘以排列数即得最终结果。

✅【答案】

Success

12

✍【详细解析】

Abstract

将 10 垄田地从左至右编号为 $1,2,3,\cdots ,10$。 设选定种植的两个位置分别为 $x$ 和 $y$，且 $x<y$。 题设要求“$A,B$ 两种作物的间隔不小于 6 垄”，即在第 $x$ 垄与第 $y$ 垄之间，至少存在 6 垄田地。 这等价于代数不等式： $y-x-1\ge 6⟹y-x\ge 7$

由于田地总共只有 10 垄，所以 $y$ 的最大值为 10。 我们通过分类穷举法找出所有满足条件的位置组合 $(x,y)$：

• 当 $y-x=7$ 时（中间间隔 6 垄）： 可能的组合为：$(1,8)$，$(2,9)$，$(3,10)$。共有 3 种组合。
• 当 $y-x=8$ 时（中间间隔 7 垄）： 可能的组合为：$(1,9)$，$(2,10)$。共有 2 种组合。
• 当 $y-x=9$ 时（中间间隔 8 垄）： 可能的组合为：$(1,10)$。共有 1 种组合。

满足条件的选定 2 个位置的组合总数为： $C=3+2+1=6\text{ 种}$

题目要求在选出的这 2 垄田中分别种植 $A,B$ 两种不同的作物。由于作物是有区别的（例如在组合 (1, 8) 中，可以在第 1 垄种 A 第 8 垄种 B，也可以反过来），所以每一种位置组合都对应着 $A_2^2=2$ 种不同的种植方式。

因此，不同的选垄种植方法总数为： $N=C\times A_2^2=6\times 2=12\text{ 种}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：排列与组合的乘法原理；离散空间中“间隔”与“坐标差”的代数转化。
2. 核心方法：有序穷举法。当总样本空间较小（如 10）且约束条件极其严苛（如间隔不小于 6）时，满足条件的情况非常少，直接按照差值 $k=7,8,9$ 分类枚举是最保险且快速的方法，无需动用复杂的隔板法或插空法。
3. 避坑指南：

• “间隔”与“差值”混淆：极易将“间隔不少于 6”错当成 $y-x\ge 6$。必须明确，位置 1 和 2 之间的间隔是 0（差为 1），位置 1 和 8 之间的间隔是 6（差为 7）。
• 漏乘全排列：算出组合数 6 之后，切勿直接填 6。题目问的是种植 $A,B$ 两种作物的选法，这是一个有序排列问题，必须乘以 $A_2^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的具有最小间距约束的排列组合应用题。
2. 结论推广：在 $N$ 个排成一排的固定位置中，选取 2 个位置安排两个不同元素，要求这两个位置之间至少间隔 $k$ 个空位，则不同的安排方法总数为： $\text{总数}=2\times {\sum }_{i=1}^{N-k-1}i=(N-k-1)(N-k)$ 代入本题数据：$N=10,k=6$。 $\text{总数}=(10-6-1)\times (10-6)=3\times 4=12\text{ 种}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2021-乙卷理-06 单-排列组合
• 2010-北京卷理-20 解-排列组合
• 2010-江西卷理-14 填-排列组合