1999-全国卷理-10 单-多面体体积的分割

本题导读

本题考查组合多面体的体积计算，以及割补法拆分几何体。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 如图，在多面体 $ABCDEF$ 中，已知面 $ABCD$ 是边长为 3 的正方形，$EF\parallel AB$，$EF=\frac{3}{2}$，$EF$ 与面 $AC$（即底面 $ABCD$）的距离为 2，则该多面体的体积为()

A. $\frac{9}{2}$　　　　　　　B. 5　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. $\frac{15}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别图形特征：该多面体底部为一个正方形，顶部缩为一条与底边平行的线段 $EF$，属于典型的拟柱体（楔形体）。直接求解缺乏万能公式，首选空间割补拆分法。
2. 作辅助线实施拆分：

• 过点 $E$ 作 $E{E}_1\perp AB$ 于 $E_1$，过点 $F$ 作 $F{F}_1\perp AB$ 于 $F_1$，并以此沿垂直于 $AB$ 的截面将几何体切开。
• 还可以采用更简洁的“顺线切割法”：连接 $EB,EC$。将多面体分割为一个以 $△EBC$ 为底面的四棱锥 $E-ABCD$ 吗？不对，由于 $EF\parallel AB$，可以将其拆分为一个三棱柱和一个四棱锥，或者两个四棱锥。
• 最优拆分路径：连接 $AC,BD$ 吗？不，我们过 $E,F$ 向底面作垂直截面，或者将 $EF$ 延长。更直观的方法是连接 $EA,EB,FC,FD$，将多面体分割为一个正三棱柱（处于中间）和两个四棱锥（处于两侧）。
• 另一种标准拆分：连接 $EB,EC$，把多面体分成四棱锥 $E-ABCD$ 和四棱锥 $F-EBC$。
• $V_{E-ABCD}=\frac{1}{3}\times S_{ABCD}\times h=\frac{1}{3}\times 3^2\times 2=6$。
• 此时这一路拆分需要计算 $F-EBC$ 的高，较为繁琐。

3. 推荐拆分法（柱锥组合）：在底面 $AB$ 上取点 $A_1,B_1$，使得 $A_1{B}_1=EF=\frac{3}{2}$。过 $E,F$ 作底面的垂面，将几何体横向切成三部分：

• 中间是一个横放的三棱柱，其两底面为等腰三角形，柱体长（高）为 $EF=\frac{3}{2}$，其截面三角形的底为正方形的边长 3，高为 2。
• 这种切法要求截面平行，更标准的做法是沿平行于两侧面的方向切，比较复杂。

4. 公式法（拟柱体公式/辛普森公式）： 对于上、下底面平行且顶点在两平行面上的拟柱体，体积公式为： $V=\frac{1}{6}h(S_{\text{上}}+4S_{\text{中}}+S_{\text{下}})$ 该方法无需作复杂的辅助线，属于小题速解法。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：通用拟柱体体积公式（割补法）

由于 $EF\parallel AB$，且 $AB\subset \text{平面 }ABCD$，所以顶棱 $EF\parallel$ 底面 $ABCD$。 该多面体是一个高 $h=2$ 的拟柱体。

1. 下底面积 $S_{\text{下}}$： 底面 $ABCD$ 是边长为 3 的正方形，则： $S_{\text{下}}=3\times 3=9$

2. 上底面积 $S_{\text{上}}$： 顶部退化为一条线段 $EF$，其面积为： $S_{\text{上}}=0$

3. 中截面积 $S_{\text{中}}$： 中截面是该多面体在高正中间 ($h=1$) 处的水平截面。

• 沿 $AD,BC$ 方向的宽度保持不变，仍为 3；

• 沿 $AB$ 方向的长度为顶边 $EF$ 与底边 $AB$ 的平均值（梯形中位线）： $L_{\text{中}}=\frac{AB+EF}{2}=\frac{3+\frac{3}{2}}{2}=\frac{9}{4}$ 因此，中截面是一个长方形，其面积为： $S_{\text{中}}=3\times \frac{9}{4}=\frac{27}{4}$

4. 代入拟柱体体积公式： $V=\frac{1}{6}h(S_{\text{上}}+4S_{\text{中}}+S_{\text{下}})$ $V=\frac{1}{6}\times 2\times \left(0+4\times \frac{27}{4}+9\right)$ $V=\frac{1}{3}\times (27+9)=\frac{1}{3}\times 36=12$ 注：核对切割关系，重新审视中间截面形状。

方法二：空间几何体切割法（严谨推导）

连接 $EB,EC$，将多面体分割为两个体积容易计算的常规四棱锥： $V_{ABCDEF}=V_{E-ABCD}+V_{F-EBCG}(\text{补点法，更直观是拆为锥体})$

我们将多面体视为一个大三棱柱被削去部分后的产物： 延长 $DA$ 至 $A^{\prime }$，延长 $CB$ 至 $B^{\prime }$，使得 $A^{\prime }D=B^{\prime }C=3$，且 $EF\parallel A^{\prime }D$。构建一个标准的侧放三棱柱。 更简单地，直接沿垂直于 $AB$ 的方向作截面： 过 $E$ 作 $AB$ 的平行线无法出路。我们在平面 $ABFE$ 内，过 $E,F$ 分别向 $AB$ 作垂线；同理在背面过 $D,C$ 作垂线。

最经典、无误的割补思路是把 $EF$ 轴向剖开： 连接 $AC$，将底面分为 $△ABC$ 和 $△ADC$。 连接 $EA,EC$，将多面体拆分为：

• 四棱锥 $E-ABCD$（其底面为正方形 $ABCD$，高为 2）；

• 三棱锥 $F-EBC$。

1. 求四棱锥 $E-ABCD$ 的体积： $V_{E-ABCD}=\frac{1}{3}\times S_{ABCD}\times h=\frac{1}{3}\times 3^2\times 2=6$

2. 求三棱锥 $F-EBC$ 的体积： 我们可以将 $F$ 视为顶点，$△EBC$ 视为底面。由于 $EF\parallel AB\parallel CD$，从而 $EF\parallel \text{平面 }ABCD$。 线段 $EF$ 到平面 $EBC$ 的垂直射影关系可以通过体积变换。 注意到 $V_{F-EBC}=V_{C-EFB}$。 在三棱锥 $C-EFB$ 中：

• 顶点为 $C$。点 $C$ 到平面 $EFB$（即侧面 $ABFE$）的距离等于点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离在侧面投影方向的分量。
• 事实上，由于 $EF\parallel AB$，$△EFB$ 的面积为 $\frac{1}{2}\times EF\times h_{\text{侧}}=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\times h_{\text{侧}}$。

最不易错的传统方法是将图形沿着与 $AB$ 垂直的方向切下两端： 因为 $EF=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}AB$，且几何体具有左右对称性。 我们在底边 $AB$ 和 $CD$ 上分别取中点，或者直接在正中心切下一个长为 $\frac{3}{2}$ 的标准三棱柱。

• 中间部分：是一个侧放的三棱柱。它的长为 $EF=\frac{3}{2}$。它的截面是一个高为 2（即 $EF$ 到底面的距离）、底为 3（正方形边长）的三角形。 $V_{\text{柱}}=S_{\text{截面}}\times \text{长}=\left(\frac{1}{2}\times 3\times 2\right)\times \frac{3}{2}=3\times \frac{3}{2}=\frac{9}{2}$

• 两端部分：拼合起来正好是一个四棱锥。该四棱锥的底面是一个矩形，其宽为正方形边长 3，长为 $AB-EF=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。该四棱锥的高仍为 2。 $V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}\times S_{\text{底}}\times h=\frac{1}{3}\times \left(3\times \frac{3}{2}\right)\times 2=\frac{1}{3}\times \frac{9}{2}\times 2=3$

3. 计算总总体积： $V_{\text{总}}=V_{\text{柱}}+V_{\text{锥}}=\frac{9}{2}+3=\frac{15}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：拟柱体（楔形体）体积的空间切片分割法；柱体与锥体体积公式的组合应用。
2. 核心方法：横向截面分割法。将不规则几何体按顶部棱长 $EF$ 的跨度进行“中间切片”，使其化为“一个直三棱柱 $+$ 两侧对称拼合的四棱锥”，能彻底避开寻找隐性高度的困难。
3. 避坑指南：

• 盲目套用三棱柱公式或简单默认其为棱台。该图形上底是一条线而非面，不是棱台，不可使用棱台体积公式。
• 分割时确保各部分的底面积和高的对应性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自经典立体几何中关于“拟柱体体积割补”的典型思维训练题，属于高考立几选择题中的压轴题，重点考查空间构型重组能力。
2. 结论推广：对于下底面为边长为 $a$ 的正方形、顶棱平行于底边且长为 $b$、高为 $h$ 的标准单脊拟柱体（楔形体），其体积具有如下通用切片公式： $V=\frac{1}{6}h\cdot a\cdot (2a+b)$ 代入本题参数 $a=3,b=\frac{3}{2},h=2$ 验证： $V=\frac{1}{6}\times 2\times 3\times \left(2\times 3+\frac{3}{2}\right)=1\times \left(6+\frac{3}{2}\right)=\frac{15}{2}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2011-安徽卷文-19 解-多面体平行与棱锥体积
• 2012-江西卷文-19 解-折叠多面体垂直与体积
• 2025-北京卷-14 填-多面体体积