1999-全国卷理-08 单-二项式展开系数的运算

本题导读

本题考查二项式展开式的系数和，以及特殊值代入法。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)）若 $(2 x + 3)^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，则 $(a_{0} + a_{2} + a_{4})^{2} - (a_{1} + a_{3})^{2}$ 的值为()

A. 1　　　　　　　B. -1　　　　　　　C. 0　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

对目标代数式进行因式分解：观察发现目标式结构符合平方差公式 $A^{2} - B^{2} = (A + B) (A - B)$ 。令 $A = a_{0} + a_{2} + a_{4}$ ， $B = a_{1} + a_{3}$ ，将其展开为： $[(a_{0} + a_{2} + a_{4}) + (a_{1} + a_{3})] \cdot [(a_{0} + a_{2} + a_{4}) - (a_{1} + a_{3})]$ 整理项的顺序后可得： $(a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}) \cdot (a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4})$

应用赋值法（特殊值法）：

设恒等式左侧为 $f (x) = (2 x + 3)^{4}$ 。

令 $x = 1$ ，展开式右侧即变为所有系数的和： $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ 。

令 $x = - 1$ ，展开式右侧即变为奇偶项正负相间的和： $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4}$ 。

代入相乘求解：分别计算 $f (1)$ 与 $f (- 1)$ 的具体数值，将其乘积算出即为最终答案。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设已知恒等式为： $f (x) = (2 x + 3)^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} (1)$

首先，利用平方差公式对所求的目标代数式进行因式分解： $(a_{0} + a_{2} + a_{4})^{2} - (a_{1} + a_{3})^{2} = [(a_{0} + a_{2} + a_{4}) + (a_{1} + a_{3})] \cdot [(a_{0} + a_{2} + a_{4}) - (a_{1} + a_{3})]$ 调整括号内的加法排列顺序，使其按系数下标递增排列： $= (a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}) \cdot (a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4}) (2)$

接下来，通过对恒等式①的自变量 $x$ 进行特殊值赋值：

当 $x = 1$ 时，代入恒等式①中： $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = (2 \times 1 + 3)^{4} = (2 + 3)^{4} (3)$

当 $x = - 1$ 时，代入恒等式①中： $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} = [2 \times (- 1) + 3]^{4} = (- 2 + 3)^{4} = (3 - 2)^{4} (4)$

将③和④的结果代入到分解后的目标式②中： $(a_{0} + a_{2} + a_{4})^{2} - (a_{1} + a_{3})^{2} = (2 + 3)^{4} \cdot (3 - 2)^{4}$

利用积的乘方性质 $A^{n} \cdot B^{n} = (A B)^{n}$ 将指数合并： $= [(2 + 3) (3 - 2)]^{4}$ $= [(3 + 2) (3 - 2)]^{4}$

在内层括号应用平方差公式： $= [(3)^{2} - 2^{2}]^{4} = [3 - 4]^{4} = [- 1]^{4} = 1$

所以，代数式的值为 1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式系数问题中的“赋值法”技巧（ $x = 1$ 求全系数和， $x = - 1$ 求交替系数和）；乘法公式在代数结构化简中的纽带作用。

核心方法：因式分解先行法。若直接用展开式生硬地去求 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{4}$ 各自的具体数值再代入平方，会引入大量的根式与高次运算，导致计算量极大且容易出错。利用平方差公式将其化为整体相乘是标准的高效解法。

避坑指南：

合并底数时注意正负号走势。 $(- 2 + 3)$ 在应用平方差公式时，为了看得更清晰，建议写成 $(3 - 2)$ ，从而与 $(3 + 2)$ 完美配对，防止出现由于减数与被减数记反导致的符号失误（虽然本题外层是4次方，偶次方会消去负号，但在通用代数运算中应当保持严谨）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源自新教材中“二项式定理的应用”一节。属于高考中关于多项式系数运算的常考中档经典题型。

结论推广：对于任意多项式展开式 $f (x) = (k x + b)^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，其余次项之和记为 $P = a_{1} + a_{3} + \dots$ ，偶次项之和记为 $Q = a_{0} + a_{2} + \dots$ 。则代数式 $Q^{2} - P^{2}$ 恒满足下列一般化简法则： $Q^{2} - P^{2} = (Q + P) (Q - P) = f (1) \cdot f (- 1)$ 直接代入两端点函数值的乘积，即可求出所有此类系数平方差问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

22.03 二项式定理全总结

14.01 随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

1987-上海-02 填-二项式系数之和

2008-福建文-13 填-二项式特定项系数

2003-河南卷-13 填-二项式特定项系数

∑ ( Math )

Explorer

1999-全国卷理-08 单-二项式展开系数的运算

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks