1999-全国卷理-05 单-奇函数与周期的判定

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及三角函数的周期性与二倍角公式。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 若 $f(x)\sin x$ 是周期为 $\pi$ 的奇函数，则 $f(x)$ 可以是()

A. $\sin x$　　　　　　　B. $\cos x$　　　　　　　C. $\sin 2x$　　　　　　　D. $\cos 2x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析奇偶性约束：已知已知函数 $F(x)=f(x)\sin x$ 是奇函数。因为 $y=\sin x$ 本身是一个标准的奇函数，根据函数乘法的奇偶性规律（奇 $\times$ 偶 $=$ 奇，奇 $\times$ 奇 $=$ 偶），可直接推断出 $f(x)$ 必须是一个偶函数。由此可直接排除所有奇函数选项。
2. 分析周期性约束：在剩余的偶函数选项中，将 $f(x)$ 代入 $F(x)=f(x)\sin x$，利用三角恒等变换（如二倍角公式）化简表达式，并求出其最小正周期。
3. 比对判定结论：筛选出最小正周期恰好为 $\pi$ 的选项。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

记整体复合函数为 $F(x)=f(x)\sin x$。

第一步：根据奇偶性筛选

已知 $F(x)$ 是奇函数，即满足 $F(-x)=-F(x)$。 同时，已知 $y=\sin x$ 是奇函数，即满足 $\sin (-x)=-\sin x$。 代入 $F(-x)$ 展开： $F(-x)=f(-x)\sin (-x)=f(-x)\cdot (-\sin x)=-f(-x)\sin x$

要使 $F(-x)=-F(x)$ 恒成立，则必须有： $-f(-x)\sin x=-f(x)\sin x⟹f(-x)=f(x)$ 这表明函数 $f(x)$ 必须是一个偶函数。

现在审查四个选项的奇偶性：

• A 选项：$f(x)=\sin x$，为奇函数（排除）；

• B 选项：$f(x)=\cos x$，为偶函数（保留）；

• C 选项：$f(x)=\sin 2x$，为奇函数（排除）；

• D 选项：$f(x)=\cos 2x$，为偶函数（保留）。

第二步：根据周期性检验

在保留的 B、D 选项中进行代入验证：

• 验证 B 选项：当 $f(x)=\cos x$ 时 $F(x)=\cos x\cdot \sin x=\frac{1}{2}\sin 2x$ 根据正弦函数的周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，此时 $\omega =2$： $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ 其周期恰好为 $\pi$，符合题意。

• 验证 D 选项：当 $f(x)=\cos 2x$ 时 $F(x)=\cos 2x\cdot \sin x$ 利用积化和差公式展开： $F(x)=\frac{1}{2}[\sin (2x+x)-\sin (2x-x)]=\frac{1}{2}\sin 3x-\frac{1}{2}\sin x$ 该函数的最小正周期为 $\sin 3x$ 的周期 $\frac{2\pi }{3}$ 与 $\sin x$ 的周期 $2\pi$ 的最小公倍数，即 $T=2\pi \ne \pi$，不符合题意。

综上所述，$f(x)$ 可以是 $\cos x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两个函数乘积的奇偶性判定特征；三角函数化一法（二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$）；正弦型函数最小正周期的计算（$T=\frac{2\pi }{|\omega |}$）。
2. 核心方法：双重过滤法。第一轮利用奇偶性定性过滤，第二轮利用周期性定量过滤。
3. 避坑指南：

• 容易陷入盲目计算的误区，将 A、B、C、D 四个选项直接代入乘积后再逐个求周期，这会导致计算量翻倍。应优先使用奇偶性剔除 A 和 C，能大幅优化做题速度。
• 牢记奇偶函数相乘的口诀：“同性相乘得偶（奇奇得偶，偶偶得偶），异性相乘得奇（奇偶得奇）”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自新教材中“函数的性质”与“二倍角的正弦”的交叉结合点，主要考查学生对两类性质的复合推演能力。
2. 结论推广：设 $G(x)$ 为已知奇（偶）函数，若要求 $F(x)=f(x)\cdot G(x)$ 的奇偶性，其对应关系可完全看作正负号的乘法：奇函数视作“负号”，偶函数视作“正号”。本题中“$F(x)$ 为奇（$-$） $=$ $f(x)$ $\times$ $\sin x$ 为奇（$-$）”，负负得正，故 $f(x)$ 必为偶（$+$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2005-辽宁卷-16 填-三角函数的奇偶性
• 1994-上海-10 填-三角函数的最小正周期
• 2007-上海卷文-04 填-三角函数周期